曲线曲面
本帖最后由 你有种再说一遍 于 2025-5-12 19:42 编辑1,Bezier贝塞尔曲线的多段拼接连续性只有G1和全局影响过大.
2,所以诞生均匀B样条曲线,但是转角突变性不够灵活.(实际上它出生更早,只是保密了)
3,又有了非均匀有理B样条(NURBS)它每个点都有权重(pt,weight)以及加入了一个数组表达非均匀节点向量knots
4,有了B样条之后,
人们发现多条曲线组成网格就是曲面,
叫做双三次B样条曲面.
双三次B样条曲面使用分段多项式基函数,居然它的曲面更细腻.(汽车,飞机建模使用)
5,还有一种曲面叫双三次Bezier贝塞尔曲面,使用Bernstein基函数.(数学表达简洁.)
通过贝塞尔公式可以看见: 控制点*基函数=>拟合点.
一维贝塞尔曲线: 二维控制点* x基函数
二维贝塞尔曲线: 三维控制点* x基函数 * y基函数.
二维贝塞尔曲线就是曲面,这种叫张量积曲面.
你甚至可以推广到三维,四维...这种已经没有物理意义的地方.
6,还有一种曲面是Coons双三次样条曲面
https://www.cnblogs.com/begtostu ... /11/02/2232657.html
### **曲面构造方法对比表**
| **特性** | **Coons曲面** | **B样条曲面** | **Bezier曲面** |
|-------------------|----------------------------|----------------------------|----------------------------|
| **数学基础** | 双三次样条插值 | 张量积B样条基函数 | 张量积Bernstein基函数 |
| **连续性** | $C^2$（角点信息矩阵保证） | $C^2$（节点重复度≤2） | $C^1$（多片拼接困难） |
| **控制方式** | 依赖四条边界曲线 | 控制网格逼近 | 控制多边形逼近 |
| **局部控制** | ❌ 修改边界影响整片曲面 | ✅ 支持局部修改控制点 | ❌ 全局修改 |
| **参数化要求** | 需指定角点切矢与扭矢 | 需定义节点向量 | 仅需控制点坐标 |
| **计算复杂度** | 高（需解三对角方程组） | 中（基函数递归计算） | 低（直接多项式计算） |
| **典型应用** | 飞机翼面、船舶外形 | 汽车车身、高精度工业模型 | 简单产品外观、LOGO设计 |
#### **关键差异说明**
1. **连续性**
- Coons曲面通过角点信息矩阵（含二阶偏导）强制实现$C^2$连续
- B样条曲面的连续性由节点向量重复度控制（如三重节点达$C^0$）
2. **局部控制**
- B样条曲面的基函数局部支撑性使其可独立调整部分控制点
- Bezier和Coons曲面的全局性导致"牵一发而动全身"
3. **工业适用性**
- **B样条/NURBS**：占CAD市场90%以上（CATIA、SolidWorks）
- **Coons曲面**：适用于边界驱动的工程场景（如流体力学网格生成）
- **Bezier曲面**：逐渐被B样条取代，但在字体设计中仍有应用
7,曲线曲面历史
http://www.whudj.cn/?p=450
8,现在Autodesk采取T-Splines,是混合了多种.
但是没有开源,但是网上有很多论文和知乎介绍原理.
9,曲面的参数化表示居然会上升到保角变换等高深的知识.甚至还是作为人脸识别的AI算法. 老大能举个例子不 比如建个9个控制点的简单样条曲面 如何用代码表示呢？
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