求作内接正三角形，满足两个三角形有相等的内切圆
在贴吧刷到的题，似曾相识。本帖最后由 yimin0519 于 2025-10-15 22:15 编辑
mahuan1279 发表于 2025-10-15 21:15
有证明过程吗？
1、正三角形所对的角大小是一定的（如∠B、∠C），那么∠B、∠C（左右）所夹的两等圆（切圆）圆心的轨迹也是一定的；
2、△ABC内接正三角形的等力点P到这两个等圆圆心的夹角也是可以确定下来，并且是唯一的，设为θ；
3、假定固定∠B这个切圆，那么另一个切圆（∠C内）的圆心位置依旧以P点（等力点）为旋转中心，逆时针旋转θ角得到，此时它和那个固定的切圆半径是不相等的，但他们满足一种比例关系，即∠B所夹圆其圆心轨迹的圆半径和∠B所夹圆其圆心轨迹的圆半径之比(O1J/O1H=O1D/O1E)；
4、按照比例关系，通过旋转、平移、缩放，使得3中描述的两个不相等的圆相等，即可得到∠B夹角内切圆的精确位置，从而得到与原△ABC相似的三角形，整体缩放即可达到目的。
5、4楼作图简化掉了等力点的作图，直接做了相似比O1J/O1H（图中那两个填充颜色的相似的三角形）。
4楼作图采用的是逆作法，先假定任意一个正三角形，再找等圆的精准位置，最后比例缩放到所需。 本帖最后由 MT9799 于 2025-10-24 22:07 编辑
几天未看，居然已有各种推广了（
给一个原题的“圆曲线切”正向作法，虽然可能也不甚简单，仅供参考：
（原题图在最下面附件方便对照）
1. 作三角形ABC的内心I、等力点S，连接BI、CI；
2. 作SP⊥BC于P，由此作出等力点的垂足正三角形PQR（易知BPSQ、CPSR分别四点共圆）；
3. BI与圆BPSQ再交于J，CI与圆CPSR再交于K；
4. 作圆心为J且与PQ相切的圆，作圆心为K且与PR相切的圆（记切点为J'、K'，不难发现RJJ'共线、QKK'共线）；
5. 作圆J与圆K的靠近BC一侧的（外）公切线，与SP交于L；
6. 过L作SP的垂线（与包络抛物线相切），交BI于M，交CI于N，M、N即为所求两等内切圆的圆心，作出这两圆；
7. （B、C侧皆可，此处以C侧为例）作NU⊥CI交AC于U，再作UV⊥AC交CI于V，作圆(V, VU)；
8. 作过C、S且与圆V相切的圆（阿氏问题PPC，注意应选择离BC较远的切点W，否则最终不是正三角形）；
9. 第8步的圆与BC再交于D，与AC再交于E，D、E即为所求正三角形的两个顶点；
10. 作圆BDS，与AB再交于F，连接正三角形DEF，收工。
本帖最后由 yimin0519 于 2025-10-23 17:41 编辑
chenmik 发表于 2025-10-22 13:49
感谢yimin0519兄提供的精妙解法。目前还没想到其他的解法。
另外，可将正三角形推广到一般三角形(在可解 ...
承10楼图，试作内接三角形为非正三角形：
【通过作此图，终于弄清楚回复一楼帖子作图过程中的那个60°是怎样来的了：90-60/2=60，下图为90-74/2=53，或可直接描述成当前角的外角平分线】
局部放大：
是不是要反演？ . 我只会用“参数化”画出来，“尺规”啥的，不会。 本帖最后由 yimin0519 于 2025-10-18 13:45 编辑
更新一下作图过程（就是换了一个形状的三角形，陪衬于后面原理解说）：
这三步对应8楼原理解释第⑤图中的缩放及如何得到角度α:
yimin0519 发表于 2025-10-15 21:06
下面这个作法步骤有点多，可读性不是很好：
有证明过程吗？ yimin0519 发表于 2025-10-15 21:54
1、正三角形所对的角大小是一定的（如∠B、∠C），那么∠B、∠C（左右）所夹的两等圆（切圆）圆心的轨迹 ...
建系硬算，行不行？ 6楼解释得不太清楚，有点糊，今天花了点时间整理了一下解题思路，请大侠们指正或发明、创造更好的解法：
（作法见4楼）
一、
二、
三、
四、
五、
六、
七、
本帖最后由 yimin0519 于 2025-10-18 18:20 编辑
4楼作图过程不易解读，根据8楼的推演，稍作改之：
本帖最后由 chenmik 于 2025-10-22 13:53 编辑
感谢yimin0519兄提供的精妙解法。目前还没想到其他的解法。
另外，可将正三角形推广到一般三角形(在可解范围内)。
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