2025第66届IMO的题目你能做出来吗？
来自2025的IMO的几何题，各位不妨感受一下。其实我用geogebra分析了一下，图中两个圆的大小无所谓，还有CMND的顺序都不紧要，不影响结果
这题目太难了 建系？好像有相似。 AI回答：
要证明“过\( H \)且平行于\( AP \)的直线与\( \triangle BEF \)的外接圆相切”，我们分**关键性质推导**和**相切判定**两步进行：
### 一、关键性质推导
#### 1. 外心\( P \)的性质
因为\( P \)是\( \triangle ACD \)的外心，所以\( PA = PC = PD \)（外心到顶点的距离相等）。
#### 2. \( E,F \)的性质
- 对于\( \odot \Omega \)：\( AE \)是弦，\( M \)是圆心，故\( ME = MA \)（半径），且\( M \)在\( AE \)的中垂线上。
又\( PA = PC = PM + MC \)（\( MC \)是\( \odot \Omega \)半径），结合\( PM \)是\( \triangle PMN \)的边，可得\( \angle PEM = \angle PAM \)（等腰三角形底角相等）。
- 同理，对于\( \odot \Gamma \)：\( NF = NA \)，\( \angle PFN = \angle PAN \)。
#### 3. 垂心\( H \)的性质
\( H \)是\( \triangle PMN \)的垂心，故\( NH \perp PM \)，\( MH \perp PN \)。
结合\( PA = PC = PD \)的对称性，可推得：\( \angle HPM = 90^\circ - \angle PNM \)，且\( PH \)与\( AP \)的夹角满足“过\( H \)作\( l \parallel AP \)，则\( l \)与\( PH \)的夹角等于\( \angle APM \)”。
### 二、相切判定：利用“弦切角定理”
弦切角定理：**若直线与圆相交于一点，且该直线与弦的夹角等于弦所对的圆周角，则直线与圆相切**。
我们需要证明：过\( H \)且平行于\( AP \)的直线\( l \)，满足“\( l \)与\( BE \)（或\( BF \)）的夹角等于\( \angle BEF \)（或\( \angle BFE \)）”。
#### 步骤1：分析\( \triangle BEF \)的外接圆
由\( E \in \odot \Omega \)、\( F \in \odot \Gamma \)，结合\( A,B \)是两圆交点，可得：
- \( \angle AEB = \angle AOB \)（\( O \)是\( \odot \Omega \)上点，同弧圆周角）；
- \( \angle AFB = \angle AGB \)（\( G \)是\( \odot \Gamma \)上点，同弧圆周角）。
#### 步骤2：关联\( H \)与\( AP \)的平行直线
因为\( l \parallel AP \)，故\( \angle (l, BH) = \angle (AP, BH) \)。
结合垂心\( H \)的性质（\( PH \perp MN \)）和外心\( P \)的性质（\( PA = PC = PD \)），可推得：
\( \angle (l, BE) = \angle BEF \)（即\( l \)与\( BE \)的夹角等于\( \triangle BEF \)中\( BE \)所对的圆周角）。
根据**弦切角定理**，过\( H \)且平行于\( AP \)的直线\( l \)与\( \triangle BEF \)的外接圆相切。
（注：本题涉及**外心、垂心的性质**和**弦切角定理**，核心是通过“平行传递角”+“圆周角与弦切角的等价性”完成相切判定。）
寒潮大冬瓜 发表于 2025-12-21 17:16
AI回答：
要证明“过\( H \)且平行于\( AP \)的直线与\( \triangle BEF \)的外接圆相切”，我们分**关键性 ...
这个AI 的证明似乎有问题？贴图看看，还是字母对应不上？ 本帖最后由 yimin0519 于 2025-12-21 22:01 编辑
只有三个参数（两半径与一圆心距），试着用解析几何验证一下：
highflybird 发表于 2025-12-21 20:16
这个AI 的证明似乎有问题？贴图看看，还是字母对应不上？
豆包的回复！我是把大侠的截图上传请豆包解答的！ 我都不敢说我题目都没咋看明白:funk: 本帖最后由 chenmik 于 2025-12-24 00:29 编辑
参考大神们的解法，整理了一个纯几何证明
纯几何吧10071
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