公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX-4500P计算器编程算坐标

NetBee 发表于 2006-2-25 22:04:00

来源：<A class=k href="http://www.studa.net/" target="_blank" >中国论文下载中心</A>    [ 06-02-15 10:02:00 ]    作者：李文昌    编辑：studa9ngns
<DIV id=list2 style="PADDING-RIGHT: 12px; PADDING-LEFT: 12px; PADDING-BOTTOM: 10px; PADDING-TOP: 10px">
摘要：本文利用复化辛普森公式导证的<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>公路匝道坐标的通用公式。利用FX-4500P<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>器编程<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>放样点位坐标。 
关键词：复化辛普森公式公路匝道编程坐标<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A> 

　一、引言 

　　匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>器编程<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>公路匝道点位坐标。
　　二、公路匝道点位坐标<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>
　　1. 公路匝道中线形式
　　公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1¹R2。
　　2. 回旋曲线上点位坐标方位角的<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>
　　如图1，设回旋曲线起点A的曲率为rA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DKB，Ax¢y¢为以A为坐标原点，以A点切线为x¢轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。
　　由此回旋曲线上各点曲率半径为Ri和该点离曲线起点的距离ﺎi成反比，故此任意点的曲率为
　　 <IMG height=36 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102566008.gif" width=83>（<IMG height=15 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102562414.gif" width=12>=R<IMG height=19 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102563995.gif" width=9>0为常数）（1）
　　由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为
　　 <IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102566227.gif" width=323>（2）
　　当曲线右偏时，<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/10257483.gif" width=47>取正；当曲线左偏时<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/10257483.gif" width=47>取负。在图1中有
　　 <IMG height=40 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102575285.gif" width=127>
　　 <IMG height=33 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102579576.gif" width=91>（3）
　　将式（2）代入式（3）得
　　 <IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102571277.gif" width=250>（4） 
　　若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dki点切线坐标方位角为
　　 <IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102576828.gif" width=81>（5）
　　将式(4)代入式(5)得
　　<IMG height=19 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102575095.gif" width=273> （6） 
　　对于式(6)，当<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102584905.gif" width=46>，<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102583516.gif" width=46>时，<IMG height=22 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102587934.gif" width=43>，则<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/10258801.gif" width=52>ai=aA，式 (6)变成<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当<IMG height=17 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102583210.gif" width=65>，<IMG height=17 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102584835.gif" width=65>时，<IMG height=21 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102587778.gif" width=61>， <IMG height=19 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102582367.gif" width=210>，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。
　　可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。
　　3、回旋曲线点位坐标计算
　　由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：
　　 <IMG height=18 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102587723.gif" width=97><IMG height=18 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102586160.gif" width=93>（7）
　　 <IMG height=30 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102581706.gif" width=114><IMG height=30 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102589375.gif" width=109>（8）
　　设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：
　　 <IMG height=30 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102592822.gif" width=146>
　　 <IMG height=30 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102594989.gif" width=137>（9）
　　对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。
　　首先将积分区间划分为n等份，步长为H=（DKi-DKA）/n，分点里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间的里程为DXK+1/2，则DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1。
　　由此式(9)用复化辛普森公式表示为
　　 n-1 n-1
　　 X=XA+H/6´（cosaA+4∑cosaK+1/2 +2∑cosaK +cosai）
　　　K=0 k=1
　　 n-1 n-1
　　 Y=YA+H/6´（sinaA+4∑sinaK+1/2 +2∑sinaK +sinai）（10） 
　　 K=0 k=1
　　式中：aA为回旋曲线起点A的切线方位角；aK+1/2为里程DXK+1/2点切线方位角；aK为里程DXK点切线方位角；ai为里程DKi点切方位角。
　　对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。
<IMG height=294 src="http://www.studa.net/Newspic/2006215/102595347.jpg" width=644> 
　　三、复化辛普森公式的使用说明
　　为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。</DIV>

NetBee 发表于 2006-2-25 22:05:00

四、公路匝道坐标<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>源程序
　　L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：{J}：J“CHI”
　　L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）：Int（N/2）=N/2=>O=O+cosR：P=P+sinR：¹>Q=Q+ cosR：S=S+ sinRD
　　L3 N=M=>Goto3：¹>Goto2DLbl3：X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”ùY：“Y=”ù Pol（X-T，Y-U： Vù W<0=>W=W+360ù¹>WùDGoto1
　　 X1----测站点X坐标
　　 Y1----测站点Y坐标
　　 AT----曲线起点方位角
　　 PA----曲线起点曲率（当曲线右偏时，ρA取正；当曲线左偏时ρA取负。）
　　 PB----曲线终点曲率（当曲线右偏时，ρB取正；当曲线左偏时ρB取负。）
　　 CH0----曲线起点里程
　　 CHN----曲线终点里程
　　 X0----曲线起点X坐标
　　 Y0----曲线起点Y坐标
　　 M----求和累积次数n的2倍
　　 CH----曲线待测点里程
　　 X----曲线待测点X坐标
　　 Y----曲线待测点Y坐标
　　 V----测站至待测点间的距离
　　 W----测站至待测点间的方位角
　　其中R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）为（2）、（6）式的合并式，<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>切线坐标方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+ cosR、S=S+ sinR、X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>点位坐标。由于累计时O=O+cosR、P=P+sinR分别多累加了一个cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一项前为负号。
　　五、坐标<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>算例
　　利用万家寨<LABEL class=lb onclick="g('水利');">水利</LABEL>枢纽工程左岸上坝公路一段曲线验证复化辛普森公式坐标<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>程序的正确性。
　　如图2：0+488.8~0+552.74为直线段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17为缓和曲线段，缓和曲线长为L0=25M，0+577.74~0+693.17为圆曲线段，R=85M。
　　在<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>器中找到该程序，先输入直线段的起算数据，以里程0+488.8为起点，求得0+500.0点的坐标，然后分别以里程0+552.74、0+577.74为起点<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>验证缓和曲线及圆曲线上各点的坐标。
　　与分别运用直线段、缓和曲线段、圆曲线段<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>坐标的<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>公式所<A href="http://www.studa.net/pc/" target="_blank" >计算</A>的结果完全相同。
　　六、结论
　　本文利用的式（10）是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n（即程序中M的1/2倍）的取值可适当的大些。
　　利用上例验算的计算结果可以说明该程序对于公路的直线段、缓和曲线段、圆曲线段均实用。上例在计算圆曲线起点（0+577.74）参数时，可利用计算缓和曲线终点（0+577.74）坐标后，在计算器中提取X、Y的数值即为圆曲线起点坐标值，提取R加360即为圆曲线起点方位角。且程序中已算出待测点至测站的平距和方位角，可利用全站仪自由设站极坐标法放样，此<A href="http://www.studa.cn/" target="_blank" >方法</A>放样速度快，准确率高。
　　 <A href="http://book.studa.com/" target="_blank" >参考</A><A href="http://book.studa.com/" target="_blank" >文献</A>：
　　李孟山，李少元.计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式.<LABEL class=lb onclick="g('测绘');">测绘</LABEL>通报，2000.
　　卡西欧FX-4500P计算器说明书.

页: [1]

明经CAD社区's Archiver

公路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX-4500P计算器编程算坐标