[讨论]黄金分割问题
<P>黄金分割问题：</P><P>一个矩形，宽高比为x，将该矩形裁去最大的正方形，剩下的矩形其宽长比仍为x，这样的矩形称为黄金矩形。x称为黄金分割系数。</P>
<P>可以用几何作图画出黄金矩形。</P> <TABLE cellSpacing=0 cellPadding=5 width=480 border=0>
<TBODY>
<TR>
<TD width=480 bgColor=#cedbff height=40><FONT class=seclev1 face=标楷体 size=5>黄金分割比 (Golden section)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><!-- section text -->
<P> 这个数是很有趣的，早在古希腊时期，希腊人就给它取了个特殊名称「黄金分割比」。种种跡象显示，在古希腊之前，古埃及人早已发现这个神秘的数字，他们在歷史上最伟大的工程之一，金字塔的建筑设计上，便大量的用到这个数值。
<P>
<P>被伦敦的大英博物馆所珍藏，早於古希腊文明数百年的阿米斯文献 (Papyrus of Ahmes) 中，就有西元前4700年，建筑於盖瑟 (Gizeh) 地方的大金字塔的详细说明。该文献中提到，在这座金字塔的构造上便用到「神圣比数」(sacred ratio)。近代的测量指出，该金字塔的斜边长，与底层的中央到底边长度的比值，恰好就是 <IMG height=41 alt=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img9.gif" width=41 align=middle border=0>（测量只精准到小数位后第 3 位，其值为 1.618）。
<P>
<P><!-- %# begin M
%\includegraphics{sm_05_08_1_01.gif}
%# end --><BR>
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=250 align=center border=0>
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<TR>
<TD align=middle><IMG height=32 src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/sm_05_08_1_01.gif" width=250 border=0> </TD></TR></TBODY></TABLE><BR>
<P>如此巧妙的黄金分割比，定义作抽象的极限，似乎很不配合埃及与古希腊传统的风格。让我们还是尊重古老的传统，用古典的方法来定义黄金分割比吧：在图 1 中，长为 <I>x+y 的线段，分成长为 x 与 y 的两段。如果全长与较长的一段的比，及较长与较短两段的比相等，其比值就是（设x>y） <BR>
<DIV class=mathdisplay align=right>
<TABLE width="100%" align=right>
<TBODY>
<TR vAlign=center>
<TD noWrap align=middle></TD>
<TD class=eqno align=right width=10>(3)</TD></TR></TBODY></TABLE><BR clear=all></DIV>
<P></P>把此式乘出来得 <I>x<SUP>2</SUP> - xy - y<SUP>2</SUP> =0 ,再以 y 除以等好两边得 <BR>
<DIV class=mathdisplay align=right>
<TABLE width="100%" align=right>
<TBODY>
<TR vAlign=center>
<TD noWrap align=middle></TD>
<TD class=eqno align=right width=10>(4)</TD></TR></TBODY></TABLE><BR clear=all></DIV>
<P></P>把(4)式解出来得 <IMG height=41 alt="$\frac{x}{y} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img19.gif" width=73 align=middle border=0> 或 <IMG height=41 alt="$\frac{x}{y} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img20.gif" width=73 align=middle border=0>。这两个数就是(1)式中出现的两个数了，其中 <IMG height=41 alt=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img9.gif" width=41 align=middle border=0> 是正根， <IMG height=41 alt=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img21.gif" width=41 align=middle border=0> 是负根，我们要的是几何中的比值，即正根 <IMG height=41 alt=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img9.gif" width=41 align=middle border=0>，所以黄金分割比,就是这个数值。
<P>
<P>这里有一点值得一提的有趣的性质就是：黄金分割比是唯一与其倒数相差为一的正数，即黄金分割比减去 1，就得其倒数： <BR>
<P></P>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG height=47 alt="\begin{displaymath}\frac{1+\sqrt{5}}{2} -1 = \frac{2}{1+\sqrt{5}}\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img22.gif" width=150 border=0> </DIV><BR clear=all>
<P></P>这个性质不难由(3)是直接证明得到 <BR>
<P></P>
<DIV class=mathdisplay align=center><IMG height=41 alt="\begin{displaymath}\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y} \Longrightarrow 1+ \frac{y}{x} = \frac{x}{y}\end{displaymath}" src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img23.gif" width=180 border=0> </DIV><BR clear=all>
<P></P>当然，你也无妨用有理根式的方法，得到这个关係。
<P><!-- %# begin M
%\includegraphics{sm_05_08_1_02.gif}
%# end --><BR>
<TABLE cellSpacing=0 cellPadding=0 width=250 align=center border=0>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle><IMG height=196 src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/sm_05_08_1_02.gif" width=250 border=0> </TD></TR></TBODY></TABLE><BR>
<P>读者也许会问，给定一个线段，如何把它分割成黄金分割比呢？下列是古希腊人的方法，先做出一个黄金矩形，即其长与宽的比，恰好为黄金分割比；先取一的边长为 1 的正方形，并连结一组组对边的中点 <I>E 与 F，把正方形对分为一半，再以 F 为圆心，长为半径圆弧，交 <IMG height=17 alt=$\overline{AD}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img25.gif" width=30 align=bottom border=0> 的延长线於 <I>G 点，过 G 作的垂线，交 <IMG height=17 alt=$\overline{BC}$ src="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_08_1/img27.gif" width=30 align=bottom border=0> 的延长线於<I>H。 </P> <P>把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。此点成为“黄金分割”点。换个简单的说法：</P>
<P>一个数与自身加一（或减一）的乘积为一，此数就是“黄金分割”比例。简单的作法见图。</P> <A name=34789><FONT color=#000066><B>ll_j</B></FONT></A>的示意图简单明了。 <P>1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,....</P>
<P>不懂图,用文字表达,后一数/前一数</P>
<P>89/55->1.618</P>
<P>987/610->1.618</P>
<P>2584/1597->1.618</P> 圆周的黄金分割。 6楼的解法。 本帖最后由 作者 于 2006-10-26 20:14:33 编辑 <br /><br /> <P></P>
<P>我也来一个Gold-ratio 圆吧:</P>
<P>全部由圆组成!( 在CAD只要用一个命令就可以了）</P>
<P>1、圆1的圆心是B ,AC为其象限点，C为圆2的圆心，BD为其象限点。</P>
<P>2、B为圆3的圆心，D为其象限点，C为圆4的圆心，A为其象限点。</P>
<P>3、以PQ为直径的圆跟以PX 或PY 为直径的圆成黄金分割比。PQ 为1,2的交点，XY为3，4的交点。</P>
<P> （红色的圆跟绿色的圆半径之比为黄金分割）</P> <p>受益拉．．．．．</p><p>呵．．．</p> 碰到高手，我只有学习的份了
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