《越飞越高004》求顶点在三同心圆上的正三角形边长
本帖最后由 作者 于 2007-8-22 10:07:40 编辑 <br /><br /> <p></p><p>从其他论坛中看到的题目： <br/>已知三同心圆半径为20,30,50，一等边三角形，其顶点分别在这三个圆上，求等边三角形的边长AB。</p> 本帖最后由 作者 于 2006-12-24 18:22:41 编辑 <br /><br /> <p><font face="宋体" size="2">下面的解法来自qjchen （晓东的snoopychen),思路很巧妙：<br/> 1)如图1，在大圆中先作出等边三角形OAB<br/> 2)把小圆从O处拷贝到B处，该圆和中圆交于C和C'（正如highflybird说的，有两个解或者一个解或者无解，则交与不交）<br/> 3）则以CA和C'A为所求的等边三角形边长<br/> 这个可以通过三角形AOD和ABC全等很简单地证明<br/> 对于非同心圆，个人感觉要复杂许多，如图2，有无穷多解，无解，及有解但可能得用循环求解等几种情况，所以个人当时建议是采用在其他软件中添加约束的方法。</font></p><p><font face="宋体" size="2"> 在此致谢！</font></p><p><font face="宋体" size="2"></font></p><p><font face="宋体" size="2">我还为此编了一个lisp程序。加载运行3arc.</font></p><font face="宋体" size="2"></font> 本帖最后由 作者 于 2008-9-29 10:04:40 编辑 <br /><br /> <p><font face="仿宋_GB2312" size="6">下面有个妙计，大家看看可以吗：<br/>①作半径OB、OB`使得BB`等于中间园的半径<br/>②作△OBB`的费马点F，即∠B`FO=∠B`FB=120° <br/>③延长BF交小园于A <br/>则BA是所求等边三角形的边长 </font></p><p></p> 本帖最后由 作者 于 2008-9-29 10:01:50 编辑 <br /><br /> <p><font face="仿宋_GB2312" color="#c43c57" size="6">楼上作法的依据：</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">F是等边△AB`O的外接圆上的点 . .<br/>AB=AF+FB=FB`+FO+FB . .</font></p><p> </p><p></p><div class="listtitle"><font face="仿宋_GB2312" color="#4d4db3" size="5"> </font><a title="《[求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形》作者：watt5151
发表于：2008-9-29 10:00:00
最后发贴：[求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形" href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=70695"><font face="仿宋_GB2312" color="#4d4db3" size="5">[求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形</font></a><font face="仿宋_GB2312" color="#4d4db3" size="5">
</font></div><p></p> <p><font face="仿宋_GB2312" size="6">咦，3楼的作法还可以更简单：<br/>①作大、小园半径OB、OB`，使得BB`等于中园半径<br/>②作正△OB`A <br/>则BA是所求等边三角形的边长 </font></p><p></p><p><br/><font face="仿宋_GB2312" color="#4444bb" size="6">关键词：<br/>费马点F必定在BA上 . .<br/>F、O、A、B`共园 . .<br/>AB=AF+FB=FB`+FO+FB . .</font></p><p> </p> highflybir发表于2006-12-15 11:06:00static/image/common/back.gif求等边三角形的边长AB。
<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">由5搂的作法及其附件可知：</font>
</p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">等边三角形的<font color="#cc3352">边长AB等于</font>‘以三个同心园的半径为边的三角形’的<font color="#cc3352">费马点到三顶点的距离之和</font>。</font>
</p><p> </p> watt5151发表于2008-9-29 17:31:00static/image/common/back.gif咦，3楼的作法还可以更简单：①作大、小园半径OB、OB`，使得BB`等于中园半径②作正△OB`A 则BA是所求等边三角形的边长 43631关键词：费马点F必定在BA上 . .F、O、A、B`共园 . .AB=AF+FB=FB`+FO
<p>既然原理清楚了，那就更简单点：<br/>外圆任取一点B，以B为圆心中圆半径为半径作圆交小圆于B'点，再以B'点为圆心、作同小圆半径的圆交小圆于A点（一般有2个点）；<br/>连AB，以AB为边作等边三角形。</p> <p><font size="4">受7楼chenjun_nj作法的启发，5楼作法中的“OB、OB`、OA”无须画出来！<br/>于是又得到下面6个更简单的作法：<br/><font color="#cc3352"><font size="5">作法1</font><br/></font><font color="#2b2bd5">①X是大园上任意点<br/>②以X为园心、以大圆半径为半径画弧交大圆于A点<br/>③以X为园心、以中圆半径为半径画弧交小圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长</font></font></p><p></p><p><font size="4"><font color="#cc3352"><font size="5">作法2</font><br/></font><font color="#3333cc">①X是大园上任意点<br/>②以X为园心、以大圆半径为半径画弧交大圆于A点<br/>③以X为园心、以小圆半径为半径画弧交中圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长</font></font></p><p> </p><p><font color="#c43c57"><font size="5">作法3</font><br/></font><font color="#2b2bd5" size="4">①X是中园上任意点。<br/>②以X为园心、以中圆半径为半径画弧交中圆于A点<br/>③以X为园心、以小圆半径为半径画弧交大圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长</font></p><p> </p><p><font color="#aa5566"><font size="5">作法4</font><br/></font><font color="#4444bb" size="4">①X是中园上任意点<br/>②以X为园心、以中圆半径为半径画弧交中圆于A点<br/>③以X为园心、以大圆半径为半径画弧交小圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长</font></p><p></p><p><font size="5"><font color="#b34d61">作法5</font><br/></font><font color="#2b2bd5" size="4">①X是小园上任意点<br/>②以X为园心、以小圆半径为半径画弧交小圆于A点<br/>③以X为园心、以大圆半径为半径画弧交中圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长</font></p><p></p><p><font color="#cc3370" size="5">作法6</font><br/><font color="#2b2bd5" size="4">①X是小园上任意点<br/>②以X为园心、以小圆半径为半径画弧交小圆于A点<br/>③以X为园心、以中圆半径为半径画弧交大圆于B点<br/>则AB为所求等边三角形的边长<br/></font></p> 楼上够简单。
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