圆的公切线

jkbanana 发表于 2007-5-28 09:30:00

本帖最后由作者于 2007-5-28 9:49:19 编辑 圆的公切线(一)已知:  两圆c1, c2的半径分别为r1(>0), r2(>0), 圆心分别为P1, P2.      两圆心间的距离设为d, 圆心P1, P2的中点设为M.求:  圆c1, c2的公切线. 显然这是2D的平面问题.A 几何方法:  公切线与过两圆圆心的直线有一交点, 该交点在两圆圆心之间时称该公切线为内公切线, 不在两圆圆心之间时称该公切线为外公切线.<shapetype id="_x0000_t202" coordsize="21600,21600" ospt="202" path="m,l,21600r21600,l21600,xe"></shapetype><shapetype></shapetype><stroke joinstyle="miter"></stroke><stroke></stroke><stroke></stroke><stroke></stroke><path gradientshapeok="t" oconnecttype="rect"></path><path></path><path></path><path></path><shapetype></shapetype><shapetype></shapetype><shape id="_x0000_s1026" filled="f" stroked="f" type="#_x0000_t202" style="MARGIN-TOP: 15.2pt; Z-INDEX: 1; LEFT: 0px; MARGIN-LEFT: 130.3pt; WIDTH: 24.4pt; POSITION: absolute; HEIGHT: 22.85pt; TEXT-ALIGN: left;"></shape><shape></shape><textbox inset="5.85pt,.7pt,5.85pt,.7pt"></textbox><textbox></textbox><textbox></textbox><textbox></textbox><shape></shape><shape></shape>1. 两圆的外公切线                 外公切线1.1 r1≠r2<chsdate year="1899" month="12" day="30" islunardate="False" isrocdate="False" wst="on"></chsdate><chsdate></chsdate>1.1.1<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> |r1-r2|<d  如上图, 不失一般性可假设r1>r2  以P1为圆心, r1-r2为半径画圆为c3, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c4, 则圆c3与圆c4相交于点Q (有两点), 已P1为起点, 过点Q可作1条射线, 该射线交圆c1于点T1(外公切线与圆c1相切的点), 过P2作P1T1的平行线, 交圆c2于点T2(与点T1在线段P1P2的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求得两组外公切线.<chsdate year="1899" month="12" day="30" islunardate="False" isrocdate="False" wst="on"></chsdate><chsdate></chsdate>1.1.2<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> |r1-r2|=d  两圆内切, 两圆外公切线的切点T1和T2均与两圆切点重合.     过两圆切点作直线段P1P2的垂线, 该垂线就是外公切线(只有一组).<chsdate year="1899" month="12" day="30" islunardate="False" isrocdate="False" wst="on"></chsdate><chsdate></chsdate>1.1.3<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> |r1-r2|>d  无公切线1.2 r1=r2<chsdate year="1899" month="12" day="30" islunardate="False" isrocdate="False" wst="on"></chsdate><chsdate></chsdate>1.2.1<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> d=0  两圆重合, 有无数的外公切线(无意义, 应排除).<chsdate year="1899" month="12" day="30" islunardate="False" isrocdate="False" wst="on"></chsdate><chsdate></chsdate>1.2.2<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> d≠0  设外公切点为分别T1, T2, 显然角T1P1P2 等于 角T2P2P1等于 90˚.  所以, 过P1, P2点分别作线段P1P2的垂线, 与圆c1, c2分别有两个交点, 在线段P1P2的同侧的点就是外公切点T1, T2 (有两组).<span lang="EN-US" style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">2. 两圆的内公切线<span style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman';">                 内公切线2.1 r1+r2<d  如上图, 以P1为圆心, r1+r2为半径画圆为c3, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c4, 则圆c3与圆c4相交于点Q (有两点), 用直线连接点P1与Q, 则线段P1Q交圆c1于点T1(内公切线与圆c1相切的点), 过P2作P1T1的平行线, 交圆c2于点T2(与点T1不在线段P1P2的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求两组内公切线.2.2 r1+r2=d  两圆外切, 两圆内公切线的切点T1和T2均与两圆切点重合.     过两圆切点作直线段P1P2的垂线, 该垂线就是内公切线(只有一组).2.3     r1+r2>d  两圆间不存在内公切线.

jkbanana 发表于 2007-5-28 09:42:00

本帖最后由作者于 2007-5-29 9:26:24 编辑 圆的公切线(二)B 解析几何方法:  为求解公切线, 首先要确定是画外公切线, 还是内公切线.    可以通过对话框或输入关键词来确定是画外公切线, 还是内公切线. 由于一般情况下外公切线和内公切线各有两条, 所以还得确定画在什么位置.  此处采用以下方法: 如下图所示, 在选择圆时, 使选择点S1, S2靠近公切线的切点T1, T2(大概范围, 应远离由两圆心P1, P2确定直线), 当选择点(S1, S2)在由两圆心确定直线的同一侧时, 就在相应的一侧画外公切线, 不在同一侧时, 就在相应的部位画内公切线.      同一侧                             异侧  设以P1为起点, 以P2, S1, S2为终点的矢量的单位长度矢量分别为V0, V1和V2.    V0= (P2 - P1)/|P2 - P1|    V1=(S1 - P1)/|S1 - P1|    V2=(S2 - P1)/|S2 - P1|  关于"已知一直线(给定不重合的两端点P1, P2), 确定两点S1, S2是否在直线的同一侧?"的问题,    感兴趣者请参考帖子"点在直线哪一侧问题的求解".<span lang="EN-US" style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">1. 两圆的外公切线<span style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">  这时选择点S1与S2在过两圆心P1, P2的直线的同一侧, 即   (V0×V1) · (V0×V2) > 0<span style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-language: AR-SA; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">          外公切线1.1 |r1-r2|<d  如上图, 假设r1>r2. 以P1为圆心, r1-r2为半径画圆为c3, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c4, 则圆c3与圆c4相交于点Q (有两点), 已P1为起点, 过点Q可作1条射线, 该射线交圆c1于点T1(外公切线与圆c1相切的点), 过P2作P1T1的平行线, 交圆c2于点T2(与点T1在线段P1P2的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求得两组外公切线.以下用解析几何方法求T1与T2(数组的索引从0开始).  设T1 = (T1(0), T1(1), T1(2) )T, T2 = (T2(0), T2(1), T2(2) )T, 又设角P2P1Q为q (逆时针旋转为正), 则    -π/2 < q < π/2    cosq = (r1 - r2) / d  >0   (上述模型中r1-r2为圆c3的半径, 必须满足r1>r2 *1)因为点Q有两点, 所以   q = ±Arccos((r1 - r2) / d)q 的符号可由外积(V0×V1)与z轴的正方向(0, 0, 1)T按以下方法确定,     当 (V0×V1) · (0, 0, 1)T > 0, 即V0(0)V1(1) - V0(1)V1(0) > 0 时, q = Arccos((r1 - r2) / d)     当 (V0×V1) · (0, 0, 1)T < 0, 即V0(0)V1(1) - V0(1)V1(0) < 0 时, q = -Arccos((r1 - r2) / d)  设以P1为起点, 以T1为终点的矢量的单位长度矢量为V3, 则   V3 = P1T1 / |P1T1|                  (未知)  未知单位长度矢量V3可以由单位长度矢量V0按逆时针旋转q 弧度获得. 而矢量按逆时针旋转q 弧度,    就相当于对应的坐标轴按逆时针旋转-q 弧度而得到的结果,    这时的坐标旋转转换矩阵a为由坐标转换, 矢量V3可由下式计算   V3(i) =a(i, j) V0(j)            (i=0,2; j=0,2)所以,    T1(i) = P1(i) + r1V3(i)        (i=0,2)   T2(i) = P2(i) + r2V3(i)        (i=0,2)注*1:  当r1=r2时, 虽然用前述的几何法无法做出公切线, 但解析方法仍然可以正确地求出T1与T2 (此时, q   = ±π/2);  当r1<r2时, 可同时互换P1与P2, r1与r2的值, 以满足r1<r2的要求.1.2 |r1-r2|=d<chsdate wst="on" isrocdate="False" islunardate="False" day="30" month="12" year="1899"></chsdate><chsdate></chsdate>1.2.1<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate>   d=0 (r1=r2)  两圆重合, 有无数的外公切线(无意义, 应排除).<chsdate wst="on" isrocdate="False" islunardate="False" day="30" month="12" year="1899"></chsdate><chsdate></chsdate>1.2.2<chsdate></chsdate><chsdate></chsdate> d≠0  两圆内切, 两圆外公切线的切点T1和T2均与两圆切点重合.    过两圆切点作直线段P1P2的垂线, 该垂线就是外公切线(只有一组).   切点T1和T2可以用1.1的方法算出.1.3 |r1-r2|>d  无公切线 <span style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">

jkbanana 发表于 2007-5-28 09:44:00

本帖最后由作者于 2007-5-28 16:11:43 编辑 2. 两圆的内公切线       这时选择点S1与S2不在过两圆心P1, P2的直线的同一侧, 即        (V0×V1) · (V0×V2) < 0          内公切线2.1 r1+r2<d        如上图, 以P1为圆心, r1+r2为半径画圆为c3, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c4, 则圆c3与圆c4相交于点Q (有两点), 用直线连接点P1与Q, 则线段P1Q交圆c1于点T1(内公切线与圆c1相切的点), 过P2作P1T1的平行线, 交圆c2于点T2(与点T1不在线段P1P2的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求两组内公切线. 以下用解析几何方法求T1与T2(数组的索引从0开始).   设T1= (T1(0), T1(1), T1(2) )T, T2 = (T2(0), T2(1), T2(2) )T, 又设角P2P1Q为q (逆时针旋转为正), 则         -π/2 < q < π/2    cosq = (r1 + r2) / d >0   (因为r1 + r2恒大于0, 所以r1与r2的大小关系可以是任意的) 因为点Q有两点, 所以          q = ±Arccos((r1 + r2) / d)        与外公切线的计算相同, q 的符号可同样由外积(V0×V1)与z轴的正方向(0, 0, 1)T来确定.   以P1为起点, 以T1为终点的矢量的单位长度矢量V3,可同样由单位长度矢量V0按逆时针旋转q 弧度获得, 坐标旋转转换矩阵a    也与外公切线的计算相同, 矢量V3可由下式计算         V3(i) =a(i, j) V0(j)            (i=0,2; j=0,2)      所以,    T1(i) =P1(i) + r1V3(i)   (i=0,2)         T2(i) =P2(i) - r2V3(i)   (i=0,2)  (因T2与T1不在线段P1P2的同一侧,所以取"-"号)       2.2 r1+r2=d         两圆外切, 两圆内公切线的切点T1和T2均与两圆切点重合.     过两圆切点作直线段P1P2的垂线, 该垂线就是内公切线(只有一组).    切点T1和T2可以用2.1的方法算出.      2.3 r1+r2>d         两圆间不存在内公切线.      **********************************************************************************************************************下面的VBA程序是用上面的理论求解两圆公切线的简单小例子。

jkbanana 发表于 2007-5-28 09:46:00

本帖最后由作者于 2007-5-28 10:02:29 编辑 因为有162400字节的限制，只好分3次发表。而且发表的帖子会在句子的中途自动变行？要调整好几次才可以？

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