点在直线哪一侧问题的求解
本帖最后由 作者 于 2007-5-29 9:02:45 编辑 <br /><br /> <p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">命题</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">:<p></p></b></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">点在直线的哪一侧</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">?<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></b>与下面的命题是等价的<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">已知一直线</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">(</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">给定不重合的两端点</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><sub>1</sub></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">, P<sub>2</sub>), </b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">确定两点</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">1, S2</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">是</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">否</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">在</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">直线的同一侧</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">?</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><p></p></b></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;">首先应明确的是这类命题都仅在<span lang="EN-US">2D空间才有意义</span>, 虽然在计算上采取3D的手法.<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>该问题可以通过矢量的内积与外积的计算,如下确定<span lang="EN-US">.</span></p><p> </p><span style="mso-spacerun: yes;"><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-fareast-font-family: 宋体;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>设以<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>1</sub>为起点, 以<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>2</sub>, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>1</sub>, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub>为终点的矢量分别为<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>,<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> V</b><sub>1</sub>和<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub>.<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub> = <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>2</sub> - <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>1</sub><p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>1</sub> = <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>1</sub> - <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>1</sub><p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub> = <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub> - <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">P</b><sub>1</sub><p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>如果<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>1</sub>与<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub>在直线的同一侧的话，下面所示矢量的外积(还是矢量)<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>1</sub>) 和 (<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub>)<sub><p></p></sub></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;">的方向一致.<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;">结论:<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><p></p></b></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(1)<span style="mso-spacerun: yes;"> (<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub></span>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>1</sub>) =0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>---<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>点<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>1</sub>在直线上<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(2)<span style="mso-spacerun: yes;"> (<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub></span>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub>) =0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>---<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>点<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub>在直线上<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(3)<span style="mso-spacerun: yes;"> (<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub></span>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>1</sub>) ·<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>(<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub>) > 0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>---<span style="mso-spacerun: yes;"> <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b></span><sub>1</sub>与<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub>在直线的<span style="COLOR: fuchsia;">同一侧</span><p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>1</sub>) ·<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>(<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>0</sub>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b><sub>2</sub>) < 0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>---<span style="mso-spacerun: yes;"> <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b></span><sub>1</sub>与<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">S</b><sub>2</sub>不在直线的同一侧<p></p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"> ******************************************************* </p></span></span> <p></p>关于矢量的<span style="COLOR: fuchsia;">内积与外积的计算方法</span>:<p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>设两矢量为<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">G</b>, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">E</b>, 数组的索引从<font face="Century">0</font>开始计算时<font face="Century">, </font>成分表示如下,<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">G</b></span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>= (G(0), G(1), G(2) )<sup>T</sup>, <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">E </b>= (E(0), E(1), E(2) )<sup>T</sup>,<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> 1) </span>矢量的<span style="COLOR: fuchsia;">内积</span>c为标量, 如下计算,<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> c </span>= <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">G</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">·</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">E</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>= G(0)E(0) + G(1)E(1) + G(2)E(2)<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> 2) </span>矢量的<span style="COLOR: fuchsia;">外积</span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b>还是矢量,<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b> </span>= <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">G</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>×<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;">E</b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><p></p></b></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">V</b> </span>的成分如下,<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> V</span>(0)<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>= G(1)E(2) - G(2)E(1)<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> V</span>(1)<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>= G(2)E(0) - G(0)E(2)<p></p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p><span style="mso-spacerun: yes;"> V</span>(2)<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"> </b>= G(0)E(1) - G(1)E(0)</p> 见下面的链接：http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=176590&page=1&extra=#pid809120
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