三角形作图题
<p>受qjchen推荐注册初来，发个近来想到的题目：</p><p>给定一个三角形，在三角形内部求作一点，这点到三边的垂足把三角形分割成三个四边形。</p><p>（1）使三个四边形的面积相等；</p><p>（2）使三个四边形的周长相等。</p> 本帖最后由 作者 于 2008-1-23 20:25:25 编辑 <br /><br /> <p><font color="#000000">:)</font></p><p><font color="#000000">谢谢<strong><font face="Verdana">hejoseph老师应邀而来，请多出题多解题，谢谢谢谢。</font></strong></font></p><strong><font face="Verdana" color="#61b713"><p><strong><font face="Verdana" color="#000000">得到此题除特殊情况外，应不能同时满足的吧。</font></strong></p><p><font color="#000000">1）<strike>应可通过构造到三边距离成边长反比的轨迹得到，应该是三条分别通过三个顶点的直线，交于一点，该点为所求。</strike></font></p><p><font color="#113dee">不好意思，想错了，继续思考中</font></p><p><font color="#000000">2）思考中，应该比较难。先去上班，再慢慢想。</font></p><p><font color="#000000">希望常来~~，最近较忙，无法常做题，见谅~~</font></p><p></p></font></strong> 呵呵，可能我上面那样写引起误会了，实际上就是两道题目，不需要同时满足（1）和（2）的。 <p>这个题目的结果出乎意料，第二问比第一问要简单很多。</p><p>第一问是不能用尺规作图法做出的，但可以用两条等轴双曲线其中一支的交点得到。</p><p>第二问解法如下：<br/>设点P是△ABC内一点，点P到边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F，四边形BDPF的周长和四边形CDPE的周长相等。<br/>设BD=x，BF=y，CD=p，CE=q。<br/>因为点B、D、P、Q共圆，并且BP是这个圆的直径，根据正弦定理以及余弦定理，得到<br/>BP=√(x^2+y^2-2xycosB)/sinB，<br/>于是<br/>PD^2=BP^2-BD^2=((y-xcosB)/sinB)^2，<br/>因为y>xcosB，所以<br/>PD=(y-xcosB)/sinB。<br/>同理得<br/>PF=(x-ycosB)/sinB，<br/>PD=(q-pcosC)/sinC，<br/>PE=(p-qcosC)/sinC，<br/>这样就得到<br/>(y-xcosB)/sinB=(q-pcosC)/sinC，……（1）<br/>四边形BDPF的周长为<br/>(x+y)(1+sinB-cosB)/sinB，<br/>四边形CDPE的周长为<br/>(p+q)(1+sinC-cosC)/sinC，<br/>(x+y)(1+sinB-cosB)/sinB=(p+q)(1+sinC-cosC)/sinC，……（2）<br/>再边BC的关系得到<br/>x+p=a，……（3）<br/>方程（1）、（2）、（3）组成一个方程组解出y、p、q，下面只列出y值<br/>y=(x(1-cosB(cosC-sinC))-sinB(a-2x+(a-x)(cosC+sinC)))/(cosB-sinB-cosC+sinC)，<br/>这样<br/>PD=(x(2+cosB+sinB+cosC+sinC)-a(1+cosC+sinC))/(cosC-sinC-cosB+sinB)，<br/>设想点P'在边BC上时，P'E'垂直于CA，P'F'垂直于AB，△BP'F'与△CP'E'周长相等，则<br/>BP'/CP'=(1+cosC+sinC)/(1+cosB+cosB)，<br/>BP'=((1+cosC+sinC)a)/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，<br/>这样<br/>(x-BP')/BP=(cosB-sinB-cosC+cosC)/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，<br/>因此周长相等的轨迹是一条线段，这条直线过点P'，并且与BC的夹角的余切值为|cosB-sinB-cosC+cosC|/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，这个角向角大的一边倾斜。<br/>利用这个结论，做两线段的交点就是第二题要求的点了。</p> 本帖最后由 作者 于 2008-1-26 9:28:01 编辑 <br /><br /> <p>一直不敢去想第二题，原来居然轨迹是直线</p><p>--------------------------------------------------------------------------<br/>那看来和cqhm兄的这道题有点类似了。<br/><br/>http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=2939677908&z=293487947&pn=0&rn=50&lm=0&word=%BC%B8%BA%CE#2939677908<br/><br/>已知锐角三角形ABC，P为三角形ABC内部一点，<br/><br/>P在BC边上的射影为D，P在CA边上的射影为E，P在AB边上的射影为F。<br/><br/>若有AF+BD+CE=AE+BF+CD，求所有这样的点P的轨迹。<br/><br/>且来思考下是否存在比较有几何意义的解法。<br/>-------------------------------------------------------------------------------</p><p>既然Hejoseph老师证明了是线性问题，那以下尝试用采用线性插值法，构造四个关键点，来确定这两条直线。</p><p>如下做，应该还有更简单的关键点的吧。</p><p> </p> 确定那条轨迹线是比较容易的，先确定分点，然后再确定倾斜角就可以作出直线了，根据上面的公式，角B、C是给定的，那么分点和倾斜角是很容易根据公式用尺规作图法作出的。
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