四边形的内切圆作图
<p>凸四边形ABCD有内切圆，给定点A、B、C、D到内切圆切点的切线长分别是w、x、y、z，求作这个凸四边形。</p><p>虽然这个作图题目是可以用尺规法作出，因为内切圆半径为r，则r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)，但我觉得这种方法不够简便，是否有更简便的方法，就如知道有外接圆的凸四边形的四边长求作凸四边形的作图法那样。</p> 本帖最后由 作者 于 2008-1-24 14:10:45 编辑 <br /><br /> <p>记得有解法的，得翻箱倒柜一下了。</p><p>-------------------------------------------------------------------</p><p>当时这道题目</p><p><a href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=63301">http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=63301</a></p><p>大致是从此处得到的</p><p><a href="http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Circumscriptible_Construction.html">http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Circumscriptible_Construction.html</a></p><p>确实如Hejoseph兄所言存在该规律</p><p>------------------------------------------------------------------</p><p>不过若仍按照yimin兄的解法，是否可以如下</p><p> </p> Qjchen先生为人谦恭，我行事有时就靠瞎撞，登不得大雅的。解此题在下觉得轨迹法确实较快。 <p>圆心轨迹确实是一个半圆，不知道之前有没有证明过？</p><p>若固定AB，则圆心在边AB上，设为O，则AO/BO=DA/BC，圆半径为√(AB·BC·CD·DA)/(AB+CD)，其推导过程可以参考<br/><a href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=65534">http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=65534</a><br/>第四楼我推导最大内切圆半径的方法。<br/>有了这个结论，作出这个内切圆也比较容易了。</p> 给定切线长求内切圆半径的方法：<br/>tan(A/2)=r/w，<br/>tan(B/2)=r/x，<br/>tan(C/2)=r/y，<br/>tan(D/2)=r/z，<br/>于是<br/>tan((A+B)/2)=(tan(A/2)+tan(B/2))/(1-tan(A/2)tan(B/2))=(w+x)r/(wx-r^2)，<br/>tan((C+D)/2)=(tan(C/2)+tan(D/2))/(1-tan(C/2)tan(D/2))=(y+z)r/(yz-r^2)，<br/>又因为<br/>tan((A+B)/2)+tan((C+D)/2)=0<br/>把上面两式右边代入化简，得<br/>wxy+wxz+wyz+xyz-(w+x+y+z)r^2=0，<br/>这样就得到<br/>r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)，<br/>根据这个结论还可以得到一个推论：<br/>此时四边形的面积的平方为<br/>(w+x+y+z)(wxy+wxz+wyz+xyz)。 <p>:) 谢谢 Hejoseph老师。</p><p>此公式挺漂亮的啊，原来是如此证明，学习了，也学习了圆周定理：）</p> <p>下面用轨迹法得到的作图法的验证，由于想适用性比较广，我使用了稍为麻烦的作图法，即作轨迹时分点用平行线的方法，作圆半径时候用了相交弦定理和平行的比例性质。</p><p>后面的压缩文件里是几何画板文件，分别拖动w、x、y、z的两端点可以改变切线长的大小，拖动点A、B可以改变四边形ABCD的位置。</p><p><br/></p>
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