Joseflin 发表于 2008-1-25 09:10:00

【自我挑戰192】

本帖最后由 作者 于 2008-1-26 9:42:46 编辑

求a之最小值(整數)：

hejoseph 发表于 2008-1-25 09:25:00

本帖最后由 作者 于 2008-1-25 10:05:39 编辑 <br /><br /> <p>最小的半径不存在的，若存在，则四边形会退化为一个三角形。</p><p>设凸四边形ABCD有内切圆，其半径为r，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，a+c=b+d，点A、B、C、D到内切圆切点的切线长分别为w、x、y、z，则<br/>w+x=a，x+y=b，y+z=c，z+w=d，<br/>于是<br/>x=a-w，y=b-x=b-a+w，z=d-w，w+x+y+z=a+c=b+d，<br/>r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)=(wx(y+z)+yz(w+x))/(a+c)=(cw(a-w)+a(b-a+w)(d-w))/(a+c)，<br/>f(w)=acw-cw^2+ad(b-a)+a(a+d-b)w-aw^2=ad(b-a)+(a^2+ad+ac-ab)w-(a+c)w^2=ad(b-a)+2adw-(a+c)w^2，<br/>因此半径最大时这个四边形是双心四边形，并且内切圆半径为√(abcd)/(a+c)。<br/>要所求的四边形存在，必须保证以下四个条件同时成立：w&gt;0，w&lt;a，w&gt;a-b，w&lt;d，根据f(w)的单调性，可知f(w)不存在最小值。</p><p>若允许四边形退化为三角形，则只需要判断max(0,a-b)与min(a,d)哪个远离ad/(a+c)，将这个w值代入f(w)就可以求出最小的半径了。</p>

yimin0519 发表于 2008-1-25 23:44:00

半径（或直径）规定为整数就可能有唯一最小的了。

Joseflin 发表于 2008-1-26 09:44:00

<strong><font face="Verdana" color="#61b713">yimin0519的建議很好，題目已更正。</font></strong>

hejoseph 发表于 2008-1-26 10:07:00

仍然可以用上面的方法做，先求出r的值域，用上面得到的二次函数表达式及w的范围是很容易求出来的，在值域内最小的整数就是所求了。

yellow 发表于 2008-1-26 20:45:00

Andyhon 发表于 2008-1-27 09:40:00

<p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><font size="3">同样依圆心轨迹<font face="Times New Roman">....<p></p></font></font></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><font size="3">三角形<font face="Times New Roman"> </font>有最小值<font face="Times New Roman"> 23.4159709-
                                </font></font></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><font size="3">取<font face="Times New Roman">
                                </font>Φ<font face="Times New Roman">24.0</font>作圆</font></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><font size="3"></font></p><p class="MsoNormal" style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt;"><font size="3"></font></p>

yellow 发表于 2008-1-28 10:47:00

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