[求师] 师哥，您会作这个周长最大的△吗
<font face="仿宋_GB2312" size="7">A是两同心园外一定点，<br/>请问如何在二个园上各作B、C点，<br/>使得△ABC的周长最大<br/></font> <p><strong><font size="6">余美保守地估计：50小时内，也许50小时小外，师哥您是作不出这个△的 . . </font></strong></p><p><strong><font size="6">希望<font color="#cc3333">估计错误</font>啦！</font></strong></p> <p>我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：</p><p>O是两同心圆圆心，AO=2，BO=3，CO=4。</p><p>cos∠AOC满足方程-26036-74700x+195083x^2+310716x^3-741168x^4+67392x^5+601344x^6-414720x^7+82944x^8=0，其值约为-0.30258364918981057。</p> hejoseph发表于2008-9-20 14:39:00static/image/common/back.gif我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：O是两同心圆圆心，AO=2，BO=3，CO=4。cos∠AOC满足方程-26036-74700x+195083x^2+310716x^3-741168x^4+67392x^5+601344x^6-414720x^7+829<p><font face="仿宋_GB2312" size="7">不明解，请详细说。</font></p> 我的意思是，从方程上判断，这个问题一般无法使用尺规作图完成，除非你给出尺规作图法我再去验证一下。 本帖最后由 作者 于 2008-9-22 2:37:23 编辑
用微分求偏导得出∠BAO=∠CAO，再往后太复杂了，没敢做。 hejoseph发表于2008-9-20 14:39:00static/image/common/back.gif我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：
<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">有文说，三同心园上各一点组成的三角形，周长最大者将以同心为内心。但是它没有说明此三角形的作法。<br/><font color="#cc3352">能否尺规作出</font><font color="#2b2bd5">以同心园心为内心的三角形</font>，各路将军请显神通吧 . .</font></p> 本帖最后由 作者 于 2008-9-22 2:38:01 编辑 <br /><br /> chenjun_nj发表于2008-9-21 17:49:00static/image/common/back.gif用微分求偏导得出∠BAO=∠CAO，再往后太复杂了，没敢做。
<p></p>既然A角的平分线过圆心，同样的分析对B、C点也适用，所以已经证明三角形的内心是圆心。 本帖最后由 作者 于 2008-9-22 8:54:00 编辑 <br /><br /> <p></p><p>证明点O是周长最大的三角形的内心是很简单的。因为此时以点A、B为焦点，AC+BC为定长的椭圆与圆在点C处相切（即椭圆和圆在点C处有公切线），于是OC是椭圆的法线，所以∠ACO=∠BCO。同样以点A、C为焦点，AB+BC为定长的椭圆与圆在点B处相切（即椭圆和圆在点C处有公切线），于是OB是椭圆的法线，所以∠ABO=∠CBO。这就说明了点O是△ABC的内心。上面那个方程正是从这个结论里推导出来的。</p><p>但从上面我推导出来的方程看，这个问题是无法用尺规作图法完成的，因为那个方程无二次根式及其有限次复合的根，这个证明也太麻烦，就不写了。</p> hejoseph发表于2008-9-22 8:53:00static/image/common/back.gif从上面我推导出来的方程看，这个问题是无法用尺规作图法完成的，因为那个方程无二次根式及其有限次复合的根，这个证明也太麻烦，就不写了。
<p><font size="5">我也算出内切园半径是三次方程的根，</font></p><p><font size="5">看不出这个</font><font size="5">三次方程有特别可解之处，</font></p><p><font size="5">这个问题可能无法尺规作图。留给高人去分析吧。</font></p>
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