watt5151 发表于 2008-9-29 10:00:00

[求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形

本帖最后由 作者 于 2008-9-29 14:25:14 编辑 <br /><br /> <font face="仿宋_GB2312" size="6">已知三个同心园<br/>请问如何在三个园各作A、B、C点,<br/>使得△ABC的三边之比为m:n:p</font>

qjchen 发表于 2008-9-29 11:04:00

本帖最后由 作者 于 2008-9-29 11:12:24 编辑 <br /><br /> <p>:)<br/>只能保证相似,全等要靠运气了吧<br/></p><p><a href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=70695">http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=70695</a></p><p>&nbsp;此处是Hejoseph兄关于此问题的拓展,是尺规可解的。</p>

hejoseph 发表于 2008-9-29 11:34:00

绝大部分情况下都是无解的,除非很碰巧。点A可以任意选择(不是点A,假定三角形是存在的,那么旋转适当角度就可以把顶点旋转到与点A重合了),作AB=m、AC=n是人容易的,此时BC是否长度为p就很难说了。

watt5151 发表于 2008-9-29 14:34:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">对不起,抄错题了。</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">编辑更正的题目见一楼。</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6"></font></p><p><font face="仿宋_GB2312" color="#5555aa" size="6">按常规,已知条件 m:n:p 的值, 将使问题可解。</font></p>

chenjun_nj 发表于 2008-9-29 22:38:00

本帖最后由 作者 于 2008-9-30 0:26:58 编辑 <br /><br /> 假设A、B、C所在的圆是指定的,那么一般情况有2个解。<br/>先按边长为m:n:p任作一个三角形A'B'C';<br/>按同心圆的半径比在三角形A'B'C'的2个边作2个阿波罗尼斯圆(watt5151又要说我用阿氏圆了....<img alt="" src="http://www.mjtd.com/bbs/Skins/default/topicface/face17.gif"/><img alt="" src="http://www.mjtd.com/bbs/Skins/default/topicface/face17.gif"/>);<br/>2个阿氏圆一般有2个交点;<br/>分别将三角形A'B'C'以这2个交点为基准定位到同心园心;<br/>剩下的就是将三角形的顶点以圆心为基点缩放到圆周。<br/>

watt5151 发表于 2008-9-30 10:31:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">楼上chenjun_nj给出了本题的通俗作法,谢谢。<br/>本题与下帖是等价的,其中5楼的作法二也是阿波罗尼斯圆 . .<br/>不过,楼主对5楼的三个‘完成任务式的作法’均不满意,<br/>不知道各位阁下有没有简单有趣的妙法?</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><a href="http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=56592&amp;hl=">由一点引三线连接顶点 m∶n∶p, 马克同学提的问题</a></font></p>

watt5151 发表于 2008-9-30 10:42:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">如果m∶n∶p=1:1:1<br/>本题就变为:<br/><font color="#4d4db3">已知三个同心园<br/>请问如何在三个园各作A、B、C点,<br/>使得△ABC为等边三角形</font></font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6"><font color="#ee1169">简单作法:</font><br/>①作大、小园半径OB、OB`,使得BB`等于中园半径<br/>②作等边△OB`A <br/>③作等边△ABC<br/>则等边△ABC为所求 </font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">&nbsp;</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6"><font color="#bb445c"><strong>证明:</strong></font><br/>①根据作法,B、A分别在大、小园上 <br/>②∵△OAC≌△B`AB<br/>&nbsp;∴OC=B`B=中园半径<br/>&nbsp;∴C在中园上<br/>完了</font></p><p></p>
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