watt5151 发表于 2008-10-7 09:05:00

[原创]诱人的垂心③

<font face="仿宋_GB2312" size="6">已知H是圆内一定点<br/>请问如何作出以H为垂心的圆内接△ABC<br/>使得BC边上高的垂足与BC中点的距离最大</font>

chenjun_nj 发表于 2008-10-7 21:48:00

本帖最后由 作者 于 2008-10-7 21:53:50 编辑 <br /><br /> <br/>作法：连OH，作AF⊥OH，取HD=HF/2，作BC⊥AF。<br/>证明：BC上的中点E、高的垂足D，∵OE⊥BC、AD⊥BC，∴AD∥OE，DE的最大距离就是2条平行线的最大距离，∴要使OH⊥AD，达到最大距离为OH。<br/>∵△垂心对任一边的对称点必在外接圆上（看图中3个相等的∠1），∴使HD=HF/2就找到垂足。

watt5151 发表于 2008-10-8 09:03:00

chenjun_nj发表于2008-10-7 21:48:00static/image/common/back.gif作法：连OH，作AF⊥OH，取HD=HF/2，作BC⊥AF。证明：BC上的中点E、高的垂足D，∵OE⊥BC、AD⊥BC，∴AD∥OE，DE的最大距离就是2条平行线的最大距离，∴要使OH⊥AD，达到最大距离为OH。∵△垂心对

<p><font face="仿宋_GB2312" color="#4d4db3" size="6">OK，<strong><font face="Verdana" color="#61b713" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">chenjun_nj的作法，</font></strong>明白+学习了。</font>
        </p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;"></font>&nbsp;</p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">①作红线垂直于OH <br/>②取HK=AK/3 ; 作蓝线垂直于红线</font><br/><font face="仿宋_GB2312" size="6" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">则△ABC为所求。</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">证明‘BC边上高的垂足与BC中点的距离最大’，与楼上<font face="Verdana" color="#61b713"><font face="仿宋_GB2312" color="#000000">的方法相似；</font></font></font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">证明H△ABC的垂心的方法，与“<a title="《[原创]诱人的垂心①》
作者：watt5151
发表于：2008-10-6 8:36:00
最后发贴：楼上的证明OK啦..." href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=70803"><font color="#000000">[原创]诱人的垂心①</font></a>”的10楼相同。 <p></p></font></p><p></p>

watt5151 发表于 2008-10-8 09:10:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">假如有‘喜欢全面讨论问题’的朋友问:</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">BC边上高的垂足在BC外！</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="6">如何是答？<br/></font></p>

chenjun_nj 发表于 2008-10-8 12:12:00

<br/>作法:过H作圆O的切线HA，A即为△的一个顶点，找出AH的中点D即为高在BC上的垂足；过D点作DC⊥AH，交圆于B、C两点。<br/>可以证明垂足在BC的边外，垂心H必在内接圆外，最大的DE距离就是△外接圆的半径。<br/>详细的证明看图就明白了。
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