[求作]刁得一班人喊难的题 到三边距离之和等于高
<font face="仿宋_GB2312" size="6">已知△ABC ,AB=14 BC=15 AC=16 <br/>O是高线AV的中点<br/>请您在离O点最近的地方作出K点<br/>使得K点到三边的距离之和等于AV<br/>即 KD+KE+KF=AV</font> 本帖最后由 作者 于 2008-10-10 7:44:21 编辑 <br /><br /> <p>三边垂线段和为定值的点的轨迹是一直线（个人猜想）</p><p>由于本题的特殊性，答案如下</p><p>不好意思了，昨天题目做错了（错的图如三楼watt5151指出的），此处修正</p><p>看来最近常范错误</p><p> </p> qjchen发表于2008-10-9 21:18:00static/image/common/back.gif 43815<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">请用几何画板检验下结果 . .</font></p> 那个轨迹确实是直线（其实是线段），用解析几何不难得到证明的。 qjchen发表于2008-10-9 21:18:00static/image/common/back.gif 43820
<br/></div><p><font face="仿宋_GB2312"><font size="6">OK，刚刚看到‘<font color="#000066">编辑过的 . .’</font></font></font></p><p><font face="仿宋_GB2312" color="#000066" size="6">看电视剧了，明天再议。</font></p> watt5151发表于2008-10-10 20:04:00static/image/common/back.gifOK，刚刚看到‘编辑过的 . .’看电视剧了，明天再议。
又撒大小姐脾气了。 <p><font face="仿宋_GB2312" size="6">qjchen编辑后的2楼作图是对的呀，<br/>可惜没有说明‘那点’是计算出来的呢还是几何画板运动出来的。</font></p><p><br/><font face="仿宋_GB2312" size="6">设△ABC的内切园半径为r<br/>由已知条件知AB+AC+BC=3BC<br/>∵△ABC的面积=AD×BC/2<br/> △ABC的面积=r×(BC+AB+AC)/2=3r×BC/2<br/>∴AD=3r<br/>可见内心N是“到三边的距离之和等于AD”的点，<br/>按4楼hejoseph‘那个轨迹确实是线段’的说法，<br/>AN上的点到三边的距离之和都等于AD<br/>所以，O到AN的垂线之足K为所求。<br/></font></p> <font face="仿宋_GB2312" size="6">因为<font color="#d52b2b">未确定在AN</font>外还有没有符合题意的点，所以完成此刁题还需下步：<br/>假设另有符合题意的K`比K更接近O<br/>设B`K`=x<br/>AD=K`D`+K`B`SinB+K`C`SinC=K`D`+xSinB+(B`C`-x)SinC<br/>上式中，只有x是一次未知数，所以x的值是唯一的，<br/>即K`是B`C`线上唯一‘到三边距离之和等于高’的点，出矛盾了<br/>(B`C`与AN的交点也是‘到三边距离之和等于高’的点)。<br/>所以，没有符合条件的比K更接近O的点</font>
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