watt5151 发表于 2008-10-13 15:08:00

[原创]高线等于外接圆半径的三角形

<br/><font face="仿宋_GB2312" size="6">请问如何作出下面的△ABC<br/>它的外接圆半径与高线AD的长度都等于同一个已知定值， <br/>它的垂心刚好是AD的中点<br/></font>

chenjun_nj 发表于 2008-10-13 17:29:00

作法：<br/>过D作线m⊥AD，延长AD至H'、使DH'=DH；过A、H'两点作半径为AD的圆O交线m于B、C两点，完成。<br/>证明：<br/>作图中红色的两条线CF、CH'，∵∠2=∠3（全等△）、∠2=∠1（同弧上的圆周角），∴∠1=∠3，△AFH∽△CDH，∴∠AFH=∠CDH是直角，H是两条高的交点，必是垂心；<br/>而作图时圆O的半径为AD，所以△ABC为所求△。<br/>

chenjun_nj 发表于 2008-10-13 17:34:00

垂心H在AD线的任意位置也是同样的作法，实际应用了垂心对任一边的对称点在外接圆周上这个定理。

watt5151 发表于 2008-10-14 09:16:00

chenjun_nj发表于2008-10-13 17:34:00static/image/common/back.gif垂心H在AD线的任意位置也是同样的作法，实际应用了垂心对任一边的对称点在外接圆周上这个定理。

<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">2楼chenjun_nj的解法好标准，不错不错。</font></p><p><font color="#a25e6b"></font></p><p><font color="#a25e6b"></font></p><p><font color="#a25e6b"></font></p><p><font color="#a25e6b"></font></p><p><font color="#a25e6b">“ . .&nbsp; 对任一边的对称点在外接圆周上”的点，称为‘好点’：<br/></font>设M为锐角△ABC内一点，M关于AB、BC、CA的对称点分别为D、E、F<br/>若A、B、C、D、E、F六点共园，则称M为‘好点’。<br/>试找出锐角△ABC的好点。<br/>答案：<br/>垂心是<font color="#b34d61">唯一好点<br/></font>&nbsp; (1993&nbsp; 江苏省数学竞赛) </p>
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