[原创]已知垂心到三顶点距离，求作三角形
<br/><font face="仿宋_GB2312" size="6">请问如何作出下面的△ABC：<br/>它的垂心到顶点A的距离等于已知定值m<br/>它的垂心到顶点B的距离等于已知定值n<br/>它的垂心到顶点C的距离等于△ABC的外接圆半径<br/></font> 作法：<br/>以m/2为半径作绿色圆、n/2为半径作红色圆，以任意2倍关系的半径作2个蓝色实线圆；<br/>任作一条绿色圆的切线交大的蓝色圆于B'、C'两点，过B'点作蓝色小圆的两条切线交蓝色大圆于A'、A"两点；<br/>连接A'C'和A"C'，过O作OD⊥A'C'、OE⊥A"C'，同时交红色圆于两点；<br/>过红色圆上的两点分别作A'C'、A"C'的两条平行线交B'C'线于两个C点，以O为圆心、分别以两个OC为半径作两个蓝色虚线圆交B'C'线于另两点B，与先前的平行线的交点为A，完成。<br/> chenjun_nj发表于2008-10-15 19:04:00static/image/common/back.gif作法：以m/2为半径作绿色圆、n/2为半径作红色圆，以任意2倍关系的半径作2个蓝色实线圆；任作一条绿色圆的切线交大的蓝色圆于B'、C'两点，过B'点作蓝色小圆的两条切线交蓝色大圆于A'、A\"两点；<font face="仿宋_GB2312" size="5"><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">楼上作法，转来转去，颇有匹多教授“生锈的园规”之风味；<br/>如何证明？有难度呀。<br/>有简法吗？只需二步！！<br/></font></p></font> 本帖最后由 作者 于 2008-10-16 14:15:24 编辑 <br /><br /> <p>chenjun_nj兄的做法很好啊</p><p>我补充一个。</p><p>（再看了chenjun_nj兄的做法，发现我只做出其中一个，那么，在第一步中，把120°改为60°，后面采用类似做法，可以得到另外一个钝角三角形解。）</p><p> </p> <p><font face="新宋体" size="6">作法不错，不知道有没有证明？</font></p><p> </p> 我的作法的证明（我也是作完后才发现证明的）：<br/>很快就能发现图中所有的∠1均是相等的（全等△结合同弧上的圆周角是圆心角的一半）；我们只要再证明∠1对半径比为定值的两个圆就是一个固定值，∵cos(∠1)=OP/OA'=定值，∴∠1=定值<br/>本题中两个圆的半径为2倍关系，∠=60°，可以直接作2条60度角线完成作图。<br/>题目改成C点距垂心为外接圆半径的任意倍数也是一样的作法。<br/> chenjun_nj发表于2008-10-16 21:10:00static/image/common/back.gif我的作法的证明
<p></p><p><font size="5"><font face="仿宋_GB2312" color="#4d4db3">上述题目被人打入了“难作之图”的黑名单。<br/>楼主将其中的第20题，拼接下面这道匈牙利竞赛题，哈哈，一楼的题就出来了。<br/></font>锐角△ABC的B点到垂心、外心的距离相等，求∠B<br/>答案：<br/>60°<br/>（1990 匈牙利数学奥林匹克）</font></p> chenjun_nj发表于2008-10-16 21:10:00static/image/common/back.gif我的作法的证明
<p><font style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">引理1：垂心与三顶点的连线，将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形的外接圆的大小都相等，并且等于△ABC的外接圆<br/>引理2：由这三个小三角形的外接圆园心组成的三角形，全等于△ABC<br/><font face="仿宋_GB2312" color="#dd226d" size="5">证明匈牙利竞赛题：<br/>∵B点到垂心、外心的距离相等<br/>∴由引理，△BHP与△BHQ是等边三角形<br/>∴∠PBQ=120°<br/>∴园周角∠B=(园心角∠AOC)/2=(∠PBQ)/2=60°</font></font></p><p><font face="仿宋_GB2312" color="#3333cc" size="5" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">证明4、5楼的作法：<br/>∵由引理，△BPQ≌△HPQ≌△OAC<br/>∴∠PBQ=∠AOC=2∠B=120°<br/>∴∠BQH=2∠BQP=60° <br/>∴△BQH等边<br/>∴BH=BQ=△ABC的外接圆半径</font></p><p></p>
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