[原创]内心难题(上集)
<br/><font face="仿宋_GB2312" size="5">请问如何作出下面的△ABC：<br/>它的内心到顶点A的距离等于已知定值m<br/>它的内心到顶点B的距离等于已知定值n<br/>它的内心到外心、垂心的距离相等。</font> <p><font face="仿宋_GB2312" size="5">本题由下面的“难作之图”黑名单中的第22题改编：</font></p><p></p> 本帖最后由 作者 于 2008-10-29 15:28:23 编辑 <br /><br /> <p><font face="仿宋_GB2312" size="5">又是三步作图题！！！</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">不过，为了表明您的作法不是‘白撞’，最好说说证明<u>要点</u>。</font></p> <p>:)</p><p>个人感觉此题确实是一道比较难的题目，经过复杂的计算之后，得到了6个解，舍去其中的三个，得到如下的三个解，其中内切圆半径=m/2和n/2的，说不定有不难的几何证明。但是复杂的那个，就比较麻烦了。</p><p>Maple的结果只取了最后的一小部分。本题的求解方法来自于，用m,n,r 表达式求出三边的长度a,b,c</p><p>再根据，$内外心距=Sqrt(R*(R-2*r))，内心垂心距=Sqrt(2*r*r+4*R*R-(a*a+b*b+c*c)/2)</p><p>公式的来源是此页：</p><p><a href="http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html">http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html</a></p><p>此两心距相等的做法来列方程式的，手算非常复杂。</p><p> </p><p> </p> qjchen发表于2008-10-30 13:26:00static/image/common/back.gif 44167<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">哗，这么复杂，有没有简单的作法？</font></p> <p>qjchen的结果可以化简的，例如2sqrt(3m^2-3mn+3n^2)mn/(4m^2-4mn+4n^2)可变为sqrt(3)mn/(2sqrt(m^2-mn+n^2))，而sqrt(m^2-mn+n^2)很好作图，就是长度为m、n所夹角为60°的三角形中60°的对边的长度。</p><p>sqrt(m^2-mn+n^2)的作图也很容易的，就是长度为m、n所夹角为120°的三角形中120°的对边的长度。</p> <p><font face="仿宋_GB2312" size="5">此上集应该比‘ <a title="《[原创]内心难题(下集)》
作者：watt5151
发表于：2008-10-20 12:43:00
最后发贴：以下是引用chen..." href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=71168"><font color="#000000">[原创]内心难题(下集)</font></a> ’容易！ </font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">明早去香港散步几天，</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">回来再看看各位阁下的精彩作法啦。</font></p> 本帖最后由 作者 于 2008-11-14 9:51:55 编辑 <br /><br /> watt5151发表于2008-11-2 19:05:00static/image/common/back.gif此上集应该比‘ 内心难题(下集) ’容易！ 明早去香港散步几天，回来再看看各位阁下的精彩作法啦。
<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">看不见各位阁下的精彩作法，</font><br/> </p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">看来还需楼主‘私了’了：</font><br/> </p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><font color="#bb4444" size="6">作图：</font><br/>①作△AIB<br/>使得∠AIB=120°<br/>IA=m IB=n<br/>②作∠IAC=∠IAB ∠IBC=∠IBA <br/>则△ABC为所求。</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><br/><font color="#bb4444" size="6">证明要点：<br/></font>∵120°=∠AIB=180°-(∠A/2+∠B/2)=180°-(90°-∠C/2)<br/>∴∠C=60°<br/>∴C点到外心、垂心的距离相等<br/>∴内心到外心、垂心的距离相等</font><br/> </p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"></font> </p> 本帖最后由 作者 于 2008-11-14 13:27:26 编辑 <br /><br /> <p>请问上面的作图法能作出qjchen所计算出来的三种解吗？</p>∠AIB=120°，这样的作图法只能作出qjchen所计算的结果中r2的那个，还有两个解没有给出作图法。
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