定角定点作图问题
<p>给定一角O及其内部一点P，过点P的直线与角的两边相交于点A、B。求A作这条直线使OA+OB最小。<br/></p> 本帖最后由 作者 于 2008-11-4 19:40:26 编辑 <br /><br /> 使用了计算。<br/>作法：<br/>过P作PD∥OX交OY于D点，取DE=DP；<br/>以OE为直径作⊙；过D作DF⊥OE，交⊙于F；<br/>取OG=DF，连GD；过P作AB∥GD，完成。<br/>证明：<br/>由解析几何证明当△OAB满足下列等式时OA+OB为最小<br/>(sinA/sinB)^2=sinβ/sinα<br/>即(OB/OA)^2=DP/OD<br/>∵由作法AB∥GD，∴OB/OA=OG/OD，<br/>∴(OG/OD)^2=(DF/OD)^2=DF*DF/OD^2<br/>=OD*DE/OD^2=OD*DP/OD^2=DP/OD<br/>即(OB/OA)^2=DP/OD<br/>证毕<br/> chenjun_nj兄的作图法很漂亮啊！我是通过构造OP√sinα、OP√sinβ两线段长度来作图的，不如你的简单。<br/>(OB/OA)^2=sinβ/sinα`这个结论我的推导方法如下：<br/>由张角定理，得<br/>sinα/OA+sinβ/OA=sin(α+β)/OP，<br/>利用权方和不等式得<br/>sinα/OA+sinβ/OA≥(√sinα+√sinβ)^2/(OA+OB)，<br/>这样就得到<br/>OA+OB≥OP(√sinα+√sinβ)^2/sin(α+β)，<br/>不等式仅当√sinα/OA=√sinβ/OB时取得等号，即(OB/OA)^2=sinβ/sinα。<br/><br/>
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