几何作图题82-做一线切三角形，得到最大三角形面积
<p>作图题82</p><p>难度系数：4.2/5</p><p> </p> 本帖最后由 作者 于 2008-11-9 17:26:37 编辑 <br /><br /> <p>分析：<br/>以(ABC)表示△ABC的面积<br/>(EFG)=(DEG)-(DEF)=0.5DE(CGsinC-BFsinB),而DE为定值，∴当CGsinC-BFsinB为最大时，(EFG)为最大；<br/>令f(α)=CGsinC-BFsinB=CDsinαsinC/sin(α+C)-BDsinαsinB/sin(B-α)<br/>要使f(α)为最大，必须df(α)/dα=0<br/>df(α)/dα=CDcosαsinC/sin(α+C)-CDsinαsinCcos(α+C)/(sin(α+C))^2-BDcosαsinB/sin(B-α)-BDsinαsinBcos(B-α)/(sin(B-α))^2<br/>=CD(sinC/sin(α+C))^2-BD(sinB/sin(B-α))^2=0<br/>即(sin(B-α)/sin(α+C))^2=BD/CD(sinB/sinC)^2<br/>∵上式中所有的值均为正值，∴sin(B-α)/sin(α+C)=(BD/CD)^0.5*sinB/sinC<br/>在△AFG中，sin(B-α)/sin(α+C)=AG/AF；在△ABC中，sinB/sinC=AC/AB<br/>∴<font color="#ee1111">AG/AF=AC/AB*(BD/CD)^0.5<br/></font>只要过D点作线使AG/AF满足以上条件即可。<br/>作法：<br/>连DA，过B点作BK∥AD交AC于K；在CA的外延长线上取AM=AK；以MC为直径作⊙；过A作AM⊥AC交⊙于N点；在AC上取AS=AN；连BS，过D作DG∥BS交AB于F点、交AC于G点。完成。<br/>证明：<br/>由作法可知<br/>AG/AF=AS/AB=(MA*AC)^0.5/AB=(AK*AC)^0.5/AB=(AC*BD/CD*AC)^0.5/AB=(AC*AC)^0.5/AB*(BD/CD)^0.5=<font color="#ee1111">AC/AB*(BD/CD)^0.5<br/></font>∴AG/AF满足前面分析的条件，(EFG)一定达到最大值。<br/>证毕</p><p>深入思考：E点在BC中间的位置影响结果吗？结论是没有任何关系，因为满足条件与E点无关！！！<br/></p> <p>再思考：<br/>既然结果与E点位置无关，那么可以设E与C重合，这样就有<br/>(CFG)=(CFA)*CG/AC=(ABC)*AF/AB*CG/AC=(ABC)*AF*CG/(AB*AC)<br/>我们知道AB、AC及(ABC)均为定值，那么当<font color="#ee1111">AF*CG</font>达到最大时(CFG)为最大，同样可以推出满足的条件式；<br/>当然也可以设E与B点重合，那样就要求<font color="#ee1111">AG*BF</font>达到最大；<br/>所以本题的解使(EFG)达到最大值时，<font color="#ee1111">AF*CG</font>和<font color="#ee1111">AG*BF</font>同时也达到最大。</p> 题目确如二位所完成，待明天我也将书中答案列出。做法也是类似的。
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