watt5151 发表于 2008-11-20 09:49:00

[自编]已知角平分线、内心，作三角形

<br/><font face="仿宋_GB2312" size="5">抹去等腰△ABC(AB=AC)的部分线段后，余下角平分线CD与内心<br/>请您重作这个三角形。</font>

watt5151 发表于 2008-11-21 18:55:00

<p></p><p><font face="仿宋_GB2312" color="#b34d61" size="6">姐妹篇：&nbsp;</font><a title="《[自编]已知三线长，作三角形》
作者：watt5151
发表于：2008-11-21 18:49:00
最后发贴：[自编]已知三线长，作三角形" href="http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=72019"><font face="仿宋_GB2312" color="#b34d61" size="6">[自编]已知三线长，作三角形</font></a><font face="仿宋_GB2312" color="#b34d61" size="6">
                </font></p>

chenjun_nj 发表于 2008-11-22 17:23:00

本题计算一下就可以了。<br/>作法：<br/>延长CD使DD'=DI；以CD'为直径作圆；作DK⊥DC交圆CD'于K点，取DK的中点M；<br/>以DI为直径作圆；作圆DM交圆DI于Q点；作线DQ及DC的垂直平分线交点为N；<br/>连CN并过I点作IF⊥CN；取BF=CF；连BD交IF于A点；连AC，完成。<br/>分析：<br/>连BI，在△BCD中，BC/BD=sin∠BDC/sinα=sin(180°-3α)/sinα=sin3α/sinα=(3sinα-4(sinα)^3)/sinα=3-4(sinα)^2=4(cosα)^2-1<br/>∵BI是B角的平分线，∴BC/BD=CI/DI，结合上式4(cosα)^2-1=CI/DI<br/>cosα=(DC/DI)^0.5/2<br/>在△DIQ中，DQ=DI*cosα=(DI*DC)^0.5/2，由作法可知我们作出的就是这个DQ。<br/>

watt5151 发表于 2008-11-23 09:32:00

chenjun_nj发表于2008-11-22 17:23:00static/image/common/back.gif本题计算一下就可以了。作法：延长CD使DD'=DI；以CD'为直径作圆；作DK⊥DC交圆CD'于K点，取DK的中点M；以DI为直径作圆；作圆DM交圆DI于Q点；作线DQ及DC的垂直平分线交点为N；连CN并过I点作IF⊥

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;">楼上chenjun_nj利用“sin-3α=3sinα-4(sinα)^3”的关系，提供了一个作法，<br/>作为交流，楼主也利用这个关系来个</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5" style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;"><font color="#c43c3c" size="6">作法1：</font><br/>①取IP=ID，作直角△CQP使得CQ=DP<br/>②作∠PCQ的平分线CB&nbsp; <br/>③作∠IBC=∠IBA=∠DCA=∠DCB <br/>则△ABC为所求</font></p><p><font style="BACKGROUND-COLOR: #f3f3f3;"><font style="BACKGROUND-COLOR: #ffffff;"></font><br/><font face="仿宋_GB2312" size="5"><font color="#a25e6b" size="6">证：</font>设BA交CD于D`<br/>显然，I是△ABC的内心<br/>∵CI/ID`=CB/BD`=SinBD`C/SinBCD`=Sin3α/Sinα=1+2Cos2α=1+2CP/CQ=1+/(2DI)=CI/DI<br/>∴ID`=ID&nbsp; <br/>∴D、D`是重合的，CD是△ABC的角平分线<br/>完了。</font></font></p>

watt5151 发表于 2008-11-23 18:11:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">利用2楼的“作法一的温馨提示”，不难想出新的作法。</font></p>

watt5151 发表于 2008-11-27 18:43:00

watt5151发表于2008-11-23 18:11:00static/image/common/back.gif利用2楼的“作法一的温馨提示”，不难想出新的作法。

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><font color="#a25e6b" size="6">作法2<br/></font>①以IC为直径作蓝⊙O&nbsp; <br/>②以DO为直径作绿圆，蓝绿园交于P&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br/>③作△DIB ，使得DB=DP&nbsp; IB=IC <br/>④作∠DCA=∠DCB ，完成△ABC</font></p><p></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><font color="#bb445c" size="6">证：</font><br/>∵DB×DB=DP×DP=DI×DC (DP是蓝园切线)<br/>∴DB是⊙BCI的切线<br/>∴∠DBI=∠ICB<br/>注意到∠ICB=∠IBC&nbsp; ∠ICB=∠ICA<br/>所以，I是等腰△ABC(AB=AC)的内心，完了。</font></p>
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