watt5151 发表于 2008-12-6 12:52:00

[求作]边长平方和相等的三角形

<font face="仿宋_GB2312" size="5">已知△ABC<br/>请您在△ABC内作出点P，<br/>使得△PAB、△PAC、△PBC的各边长的平方和相等。</font>

watt5151 发表于 2008-12-6 13:00:00

<font face="仿宋_GB2312" size="5">有个等周问题是‘使得△PAB、△PAC、△PBC的<font color="#a25e6b">周长</font>相等’，<br/>本题是‘使得△PAB、△PAC、△PBC的<font color="#aa5566">各边长的平方和</font>相等’。</font>

chenjun_nj 发表于 2008-12-7 11:39:00

<p>作法：<br/>作AE⊥BC，垂足为E，取BC的中点D，取E'点使ED=DE'，作PE'⊥BC；<br/>同样的作法，作PG'⊥AC；<br/>PE'和PG'两线交于P点，完成。<br/>证明：<br/>AC*AC-AB*AB=(EC*EC+AE*AE)-(BE*BE-AE*AE)=EC*EC-BE*BE=BE'*BE'-CE'*CE'=PB*PB-PC*PC<br/>BC*BC-AB*AB=AG'*AG'-CG'*CG'=PA*PA-PC*PC<br/>∴AB*AB+PA*PA+PB*PB=AB*AB+PA*PA+(AC*AC-AB*AB+PC*PC)=AC*AC+PA*PA+PC*PC<br/>同理可证AB*AB+PA*PA+PB*PB=BC*BC+PB*PB+PC*PC<br/>证毕。<br/></p>

watt5151 发表于 2008-12-7 18:38:00

chenjun_nj发表于2008-12-7 11:39:00static/image/common/back.gif作法：作AE⊥BC，垂足为E，取BC的中点D，取E'点使ED=DE'，作PE'⊥BC；同样的作法，作PG'⊥AC；PE'和PG'两线交于P点，完成。证明：AC*AC-AB*AB=(EC*EC+AE*AE)-(BE*BE-AE*AE)=EC*EC-BE*BE=BE'*BE

<p><font face="仿宋_GB2312" size="6">绝了！！</font></p>

qjchen 发表于 2008-12-7 20:19:00

<p>:),如叶老师所言</p><p>做垂心关于外心的对称点（其实与上述做法是等价的）</p><p>可参考 类似垂心-《平面几何中的小花》（单墫老师）P132</p>
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