watt5151 发表于 2008-12-12 17:59:00

[求作]正方形外一点

<font size="1"></font>

qjchen 发表于 2008-12-12 21:34:00

本帖最后由 作者 于 2008-12-15 22:47:32 编辑 <br /><br /> <p>小算了一下(不好意思，算错了，下图是pc^2+pd^2为最大值时候的解，不是Pc+Pd最大值的解）</p><p>&nbsp;</p>

yimin0519 发表于 2008-12-12 22:10:00

本帖最后由 作者 于 2008-12-14 3:35:32 编辑 <br /><br /> <p>楼主有何纯几何作法—妙解？（用仿射挺麻烦的）我也计算了一下：</p><p></p><p>&nbsp;咦，和Qjchen先生的结果有出入，椭圆长轴为3sqrt(2)/8、短轴为sqrt(2)/8呀，找找原因看~~~</p><p>&nbsp;原来此式没错，进一步化简得到：<br/></p><br/><br/>&nbsp;以此等参数暴力解答如下：<br/><br/><br/>以椭圆长、短轴为半径作圆（参数方程），可知一角度：<br/>

watt5151 发表于 2008-12-13 09:33:00

yimin0519发表于2008-12-12 22:10:00static/image/common/back.gif楼主有何纯几何作法—妙解？（用仿射挺麻烦的）我也计算了一下：45196&nbsp;咦，和Qjchen先生的结果有出入，椭圆长轴为3sqrt(2)/8、短轴为sqrt(2)/8呀，找找原因看~~~

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">楼主有好多题目是从QQ论坛(BBS.QQ.COM ，最近关闭)<font color="#b34d61">精选</font>过来的；<br/>不必担心无几何作法或者作法不简单。<br/>本题只需画三线(含园线)，三步搞定。</font></p>

hejoseph 发表于 2008-12-14 15:37:00

一射线$AB$为$x$轴正向，$AB$的中点为原点建立坐标系，以$A$、$B$为焦点，长半轴长为$(3sqrt(2))/8$时的椭圆为$E_1$，则这个椭圆方程为<br/>$x^2/(9/32)+y^2/(1/32)=1$。<br/>设以点$C$、$D$为焦点的椭圆长半轴长为$a$为$E_2$，则这个椭圆方程为<br/>$x^2/a^2+(y+1)^2/(a^2-1/4)=1$。<br/>当椭圆$E_1$与椭圆$E_2$内切时$a$最大。设切点为$(x_0,y_0)$，则椭圆$E_1$与椭圆$E_2$的切线方程分别为<br/>$(x_0x)/(9/32)+(y_0y)/(1/32)=1$，<br/>$(x_0x)/a^2+((y_0+1)(y+1))/(a^2-1/4)=1$，<br/>即<br/>$y=-x_0/(9y_0)*x+1/(32y_0)$，<br/>$y=((1-4a^2)x_0)/(4a^2(1+y_0))*x+((4a^2-5-4y_0)a^2)/(4a^2(1+y_0))$，<br/>于是得到<br/>$-x_0/(9y_0)=((1-4a^2)x_0)/(4a^2(1+y_0))$……①，<br/>$1/(32y_0)=((4a^2-5-4y_0)a^2)/(4a^2(1+y_0))$……②。<br/>由①得$x_0=0$或$y_0=(4a^2)/(32a^2-9)$。<br/>当$x_0=0$时$a=sqrt(82+16sqrt(2))/8$。<br/>当$y_0=(4a^2)/(32a^2-9)$时，代入②，得到$(32a^2+48a+9)(32a^2-48a+9)=0$，解这个方程，得$a=(6+3sqrt(2))/8$（另一根舍掉），而$(6+3sqrt(2))/8&gt;sqrt(82+16sqrt(2))/8$，于是$PC+PD$的最大值为$(6+3sqrt(2))/4$，此时$y_0=(1+sqrt(2))/16$，接着可以求出$x=+-(3sqrt(5-2sqrt(2)))/16$。

watt5151 发表于 2008-12-14 18:08:00

<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">唉，都是计算能手，</font></p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5">谁有<font color="#bb445c">几何作法</font>？将复杂的计算过程隐藏在线与园的运算中！</font></p>

yimin0519 发表于 2008-12-14 21:09:00

本帖最后由 作者 于 2008-12-14 21:37:51 编辑 <br /><br /> watt5151发表于2008-12-14 18:08:00static/image/common/back.gif唉，都是计算能手，谁有几何作法？将复杂的计算过程隐藏在线与园的运算中！

<p>还得先说下，楼主摘录或改编的题都很精妙，让人一经，不长白发添惠根，呵呵，论坛之幸事啊，常此以往好了。。</p><p>是啊，有时问题一经点破，结局一定讶然。<br/>就象楼主曾经出过的下面这道怕普斯解决的问题一样，即便你去反推证明都得花不少时间（但结论肯定是正确的），更有甚者，一些经典的问题可是穷著名大家若干年光阴乃至毕生精力才得解（但最终解决办法可能简单之极！），何况我们这些还得为生计奔波的、非专业的蝇头小辈，笨脑袋哪有那么多时间去考究啊，一时兴趣就不错了，呵呵……………<br/></p>

chenjun_nj 发表于 2008-12-14 21:55:00

<strong><font face="Verdana" color="#da2549">yimin0519</font></strong>兄：<br/>你上面所说的方法，我的理解是根据结果去找简便做法，我想是技巧不是技术。

yimin0519 发表于 2008-12-14 22:07:00

是啊，说穿了，还是基本功不够哦。

qjchen 发表于 2008-12-15 22:47:00

<p>唉，我做错了，我做成了pc^2+pd^2最大值的。</p><p>为此，罚自己一段时间不做题吧。</p>
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