[求作]垂直之弦
<font face="仿宋_GB2312" size="5">K是已知园内一定点，<br/>请您过K作二条互相垂直的弦，<br/>使得二弦长度之和最大</font> 已证明，过K作两条与K和圆心连线成45度角的弦长之和为最大。 chenjun_nj发表于2008-12-16 16:02:00static/image/common/back.gif已证明，过K作两条与K和圆心连线成45度角的弦长之和为最大。<p><font face="仿宋_GB2312" size="5">chenjun_nj的结论是对的呀，可以出示这个有趣的证明吗？</font>
</p><p><font face="仿宋_GB2312" size="5"><font color="#b34d61" size="6">作：</font><br/>以OK为对角线作正方形OAKB<br/>则过KA、KB的弦为所求。<br/></font></p> 本帖最后由 作者 于 2008-12-16 23:52:17 编辑 <br /><br /> 如图：<br/>AB+CD=2(R^2-(OK*sinα)^2)^0.5+2(R^2-(OK*cosα)^2)^0.5<br/>=(4R^2-4OK^2*(sinα)^2+4R^2-4OK^2*(cosα)^2+8(R^2-(OK*sinα)^2)^0.5*(R^2-(OK*cosα)^2)^0.5)^0.5<br/>=2(2R^2-OK^2*((sinα)^2+(cosα)^2)+2(R^4-R^2*OK^2*((sinα)^2+(cosα)^2)+OK^4*(sinα*cosα)^2)^0.5)^0.5<br/>=2(2R^2-OK^2+2(R^4-R^2*OK^2+OK^4*(sin2α)^2/4)^0.5)^0.5<br/>≤2(2R^2-OK^2+2(R^4-R^2*OK^2+OK^4/4)^0.5)^0.5<br/>等号当sin2α=1时成立，即α=45°<br/> 本帖最后由 作者 于 2008-12-17 14:59:04 编辑 <br /><br /> <p>我来给个几何味道浓一点的证法：$(AC+BD)^2<=2(AC^2+BD^2)=2[(AK+CK)^2+(BK+DK)^2]$,</p><p>于是$(AC+BD)^2<=2[(AK^2+DK^2)+(BK^2+CK^2)+2(AK*CK+BK*DK)]=2(AD^2+BC^2+4AK*CK)$,</p><p>而$AD^2+BC^2=AD^2+AE^2=DE^2=4R^2,AK*CK=R^2-OK^2,AC+BD<=2sqrt{2(2R^2-OK^2)}$,</p><p>最大值当$AC=BD时取到，此时O到AC,BD等距$!</p><p> </p><p></p> <font face="仿宋_GB2312" size="5">证明可行，谢谢各位。</font>
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