[求作]划分△ABC的周长与面积(备份篇)

watt5151 发表于 2008-12-30 09:11:00

已知△ABC 设△ABC的周长被某直线划分m:n两部分的同时，面积也被划分为m:n ①当m:n=1:1时，请您作出这条直线。 ②当m:n=最大值时，再次请您作出这条直线。 ③当m:n=最小值时，再次请您作出这条直线。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44652" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44652" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:13:00

原帖chenjun_nj的回复：如下图，AF/CF=m/n，DF∥BE，设AD=X，其他的就好算了。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44738" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44738" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:15:00

注意内心： 过内心画直线将△ABC分为两部分，如果此时△ABC的周长被划分为m:n，那么它的面积也同时被划分为m:n根据上述的内心性质，1楼的题目可以简化为下题：(大众化，将‘m:n=1:2’也简化为‘平分’) 已知 I是△ABC的内心 请您过I作截线DE，平分△ABC的周长(或者面积)； 再次请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最大； 最后请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最小。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44998" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=44998" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:28:00

原帖yimin0519的回复： <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45357" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45357" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45358" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45358" border="0"/></a>整理两个证明： <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45360" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45360" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45361" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45361" border="0"/></a>呵呵，还有等分面积： 1、计算法： <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45362" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45362" border="0"/></a> 2、等分周长法（尺规画法）： <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/gif.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45363" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45363" border="0"/></a> （更正：应当是PR⊥BC）

watt5151 发表于 2008-12-30 09:30:00

yimin0519提供的资料不错，值得一读。 凑热闹，楼主也转载‘等分三角形面积、周长的方法’(网上资料):等分三角形面积  <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45370" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45370" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45370" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45370" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45371" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45371" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45372" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45372" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:32:00

等分三角形面积作者：張至皓、何玉婉、何知一、張城豪  <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45373" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45373" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45374" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45374" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45375" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45375" border="0"/></a> <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45376" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45376" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:33:00

等分三角形周长作者： 廖文偉、鄭慈、林士捷 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45377" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45377" border="0"/></a>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:35:00

本帖最后由作者于 2008-12-30 18:30:01 编辑 原帖chenjun_nj的回复：对有内切圆的多边形也有同样的规律，过内切圆心的直线分割周长和面积为相同的比例。这个不是猜想。 设多边形的内切圆半径为r，过内切圆心的直线m分多边形的周长为p1和p2两部分，那么过内切圆心连多边形的各个顶点，可知直线m两边的面积分别为p1*r/2和p2*r/2(各个小三角形的面积之和)，显然它们的比例也是p1:p2。<div style="WIDTH: 728px; HEIGHT: 90px;"><script type="text/javascript"></script><script src="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js" type="text/javascript"></script><script></script></div>

watt5151 发表于 2008-12-30 09:39:00

小结几句： ㈠2楼chenjun_nj的计算作图是最老实的方法。   听妈妈说，老实不等于精灵。本题应该有比计算更巧妙的方法。 ㈡注意内心：过内心的直线分割三角形的周长和面积为相同的比例！详见4楼yimin0519的‘三角形内心的一个性质’。   于是，1楼题可以简单化为3楼题：过内心作分割三角形的面积(或者周长）为要求的比例。 ㈢4至7楼详述了由△ABC内(外)已知点作平分三角形面积(周长)的直线的方法，套用这些方法，3楼的题目即可完解； ㈣如果利用已知点是特殊点内心，作法还可以更简单。   下面就3楼的题目作分步解： 已知 I是△ABC的内心 请您过I作截线DE，平分△ABC的周长(或者面积)； 作： ①取AC的中点X ②作∠ABY=∠AIX ③作∠YDI=∠YAC 则由D、I所确定的直线为所求。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45404" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45404" border="0"/></a> 证： ①∵△ABY∽△AIX   ∴AB/AI=AY/AX ....**** ②∵△ADY∽△AIE     ∴AD/AI=AY/AE....#### ③ 比较****和####    可得 AD×AE=AB×AX=AB×AC/2 ④于是，△ADE面积=△ABC面积/2 完了

watt5151 发表于 2008-12-30 09:43:00

已知 I是△ABC的内心 再次请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最大； 选择相应的顶点 . .具体作法见4楼。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45405" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45405" border="0"/></a> 已知 I是△ABC的内心 最后请您过I作截线DE，平分△ADE的面积最小。 选择相应的顶点 . . 具体作法、证明见4。 <img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/skins/default/filetype/jpg.gif" border="0"/>此主题相关图片如下： <a href="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45406" target="_blank"><img title="dvubb" alt="图片点击可在新窗口打开查看" src="http://www.mjtd.com/bbs/showimg.asp?BoardID=37&fileid=45406" border="0"/></a>

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