几何作图题106-做等边三角形 三边分过三点 且面积最大

qjchen

早上看到这道题目的第一个问，
https://www.zhihu.com/question/20217485

以为以前做过，后来发现有无穷多解，修改了一个条件后，有不太难的几何解
难度系数：★★★☆☆

第二问，以前倒是问过类似的  http://bbs.mjtd.com/forum.php?mo ... =%D5%FD%B7%BD%D0%CE

chenmik

好像这样也行：

zixuan203344

老哥牛逼，老哥的身影真是无处不在啊，我偶尔上个theswamp浏览都能看到你零几年会的帖子

highflybird

下面的做法，不知道对否？

tigcat

几何真的很难

chenjun_nj

chenmik 发表于 2021-8-25 16:11
好像这样也行：

对的，过两圆交点的弦必定在平行两圆圆心连线时达到最长；
证明：
将弦的两端分别连两圆的另一个交点成三角形，那么所有这样的三角形都相似，
那么当弦两端与两圆交点的两根连线为直径时，弦达到最大值；
这时弦与圆心连线是平行的。

qjchen

谢谢几位的参答，我的做法和chenmik是一致的。原理正如chenjun兄所言。

本题涉及到了一些拿破仑三角形的内容

https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%BF%E7%A0%B4%E4%BB%91%E5%AE%9A%E7%90%86/1015154?fromtitle=%E6%8B%BF%E7%A0%B4%E4%BB%91%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&fromid=10780737&fr=aladdin

拿破仑三角形还有一些以下的内容：
1、原三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。
2、原三角形的重心也是内和外拿破仑三角形的重心。
http://www.360doc.com/content/16/0329/21/276037_546370348.shtml

这个内外心重合的证明，不是很容易，证明可见这里
https://www.bilibili.com/read/cv9306932/

后来用复数+向量证明了一下

既然内外重心是重合的，那么高飞版主的做法，也就是可以理解的。

highflybird

qjchen 发表于 2021-8-26 14:34
谢谢几位的参答，我的做法和chenmik是一致的。原理正如chenjun兄所言。

本题涉及到了一些拿破仑三角形的 ...

谢谢Qjchen给我们带来了这么多好的知识和链接！

highflybird

关于楼主的第一问的解，我这里抛砖引玉了：
（补充一下，图中的逆时针旋转不完全准确，应该以ABCD四点的顺逆方向作为顺逆判断）

highflybird

原来题目以前出过：
http://bbs.mjtd.com/forum.php?mo ... =%D5%FD%B7%BD%D0%CE