过两定点作圆，交两定圆成等角

chenmik

如图

highflybird

其实楼主已经在上一个帖子告诉我们的思路了：

以定点为圆心作圆，交两定圆成等角
下面是作法：

没有考虑特殊情况。
譬如：公切线平行，或者不存在公切线等等情况。
如果两圆相等，即公切线平行，则找到两圆的中轴， 作A或者B关于中轴对称点，A‘（或B’）,过此三点的圆即为所求。


顺带提及一下：上面步骤所得到的反演圆，就是共轴圆。这种圆有两个，因此一般情况下此题有两个解。

highflybird

发现了一些有趣的性质，没有证明.

highflybird

简化一下上面的作图法，利用了位似中心的性质。

chenmik

highflybird 发表于 2023-10-11 07:59
发现了一些有趣的性质，没有证明.

用下面这个引理很好证明：

chenmik

来看下面两个问题：
一、给定三个元素（点、线、圆），求作一圆，使过定点、与定直线、定圆相切。这就是著名的阿波罗尼斯问题。
二、给定四个元素（点、线、圆），求作一圆，使过定点、交定直线、定圆成等角。
第一个阿波罗尼斯问题可以看成是第二个问题的特殊形式。（因为相切可以看作相交成180度的等角。）关于第二个问题，不知是否有人研究过？网上查不到相关资料。
有兴趣的，欢迎大家讨论。

qjchen

chenmik兄反演越来越得心应手了：），也一直攻克着这个题目，相信不久的将来应该会有突破，加油！

http://bbs.mjtd.com/thread-184182-2-1.html

楼主2年前也提过这个问题，相信现在应该更近一步了。

chenmik

qjchen 发表于 2023-10-12 15:10
chenmik兄反演越来越得心应手了：），也一直攻克着这个题目，相信不久的将来应该会有突破，加油！

http: ...

多谢老师关注！
我在两年前提的问题是：给定三个元素（点、线、圆），求作一圆，使过定点、交定线、定圆成定角。
后来又想到：给定四个元素，求作一圆，使过定点、交定线、定圆成等角。而这个问题又可派生出下面的问题：给定四个元素，求作一圆，使交定线、定圆成（2）等角 + （2）定角或者(3)等角+(1)定角。
其实这些问题都想到了解决方案，只是觉得没什么人感兴趣，就没有发出来。

chenmik

下面是作一圆交四已知圆成等角作法。有点复杂。

先证明一个结论

chenmik

作法：