《越飞越高004》求顶点在三同心圆上的正三角形边长

highflybir

从其他论坛中看到的题目：
已知三同心圆半径为20,30,50，一等边三角形，其顶点分别在这三个圆上，求等边三角形的边长AB。

highflybir

下面的解法来自qjchen （晓东的snoopychen),思路很巧妙：
  1)如图1，在大圆中先作出等边三角形OAB
  2)把小圆从O处拷贝到B处，该圆和中圆交于C和C'（正如highflybird说的，有两个解或者一个解或者无解，则交与不交）
  3）则以CA和C'A为所求的等边三角形边长
  这个可以通过三角形AOD和ABC全等很简单地证明
  对于非同心圆，个人感觉要复杂许多，如图2，有无穷多解，无解，及有解但可能得用循环求解等几种情况，所以个人当时建议是采用在其他软件中添加约束的方法。

 在此致谢！

我还为此编了一个lisp程序。加载运行3arc.

watt5151

下面有个妙计，大家看看可以吗：
①作半径OB、OB`使得BB`等于中间园的半径
②作△OBB`的费马点F，即∠B`FO=∠B`FB=120°
③延长BF交小园于A
则BA是所求等边三角形的边长

watt5151

楼上作法的依据：

F是等边△AB`O的外接圆上的点 . .
AB=AF+FB=FB`+FO+FB . .

 

 [求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形

watt5151

咦，3楼的作法还可以更简单：
①作大、小园半径OB、OB`，使得BB`等于中园半径
②作正△OB`A
则BA是所求等边三角形的边长

关键词：
费马点F必定在BA上 . .
F、O、A、B`共园 . .
AB=AF+FB=FB`+FO+FB . .

 

watt5151

highflybir发表于2006-12-15 11:06:00求等边三角形的边长AB。

由5搂的作法及其附件可知：

等边三角形的边长AB等于‘以三个同心园的半径为边的三角形’的费马点到三顶点的距离之和。

 

chenjun_nj

watt5151发表于2008-9-29 17:31:00咦，3楼的作法还可以更简单：①作大、小园半径OB、OB`，使得BB`等于中园半径②作正△OB`A 则BA是所求等边三角形的边长 43631关键词：费马点F必定在BA上 . .F、O、A、B`共园 . .AB=AF+FB=FB`+FO

既然原理清楚了，那就更简单点：
外圆任取一点B，以B为圆心中圆半径为半径作圆交小圆于B'点，再以B'点为圆心、作同小圆半径的圆交小圆于A点（一般有2个点）；
连AB，以AB为边作等边三角形。

watt5151

受7楼chenjun_nj作法的启发，5楼作法中的“OB、OB`、OA”无须画出来！
于是又得到下面6个更简单的作法：
作法1
①X是大园上任意点
②以X为园心、以大圆半径为半径画弧交大圆于A点
③以X为园心、以中圆半径为半径画弧交小圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

作法2
①X是大园上任意点
②以X为园心、以大圆半径为半径画弧交大圆于A点
③以X为园心、以小圆半径为半径画弧交中圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

 

作法3
①X是中园上任意点。
②以X为园心、以中圆半径为半径画弧交中圆于A点
③以X为园心、以小圆半径为半径画弧交大圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

 

作法4
①X是中园上任意点
②以X为园心、以中圆半径为半径画弧交中圆于A点
③以X为园心、以大圆半径为半径画弧交小圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

作法5
①X是小园上任意点
②以X为园心、以小圆半径为半径画弧交小圆于A点
③以X为园心、以大圆半径为半径画弧交中圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

作法6
①X是小园上任意点
②以X为园心、以小圆半径为半径画弧交小圆于A点
③以X为园心、以中圆半径为半径画弧交大圆于B点
则AB为所求等边三角形的边长

chenjun_nj

楼上够简单。