圆的公切线

jkbanana

圆的公切线(一)

已知:  两圆c₁, c₂的半径分别为r₁(>0), r₂(>0), 圆心分别为P₁, P₂.

      两圆心间的距离设为d, 圆心P₁, P₂的中点设为M.

求:  圆c₁, c₂的公切线.

 显然这是2D的平面问题.

A 几何方法:

  公切线与过两圆圆心的直线有一交点, 该交点在两圆圆心之间时称该公切线为内公切线, 不在两圆圆心之间时称该公切线为外公切线.

1. 两圆的外公切线

                 外公切线

1.1 r₁≠r₂

1.1.1 |r₁-r₂|<d

  如上图, 不失一般性可假设r₁>r₂

  以P₁为圆心, r₁-r₂为半径画圆为c₃, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c₄, 则圆c₃与圆c₄相交于点Q (有两点), 已P₁为起点, 过点Q可作1条射线, 该射线交圆c₁于点T₁(外公切线与圆c₁相切的点), 过P₂作P₁T₁的平行线, 交圆c₂于点T₂(与点T₁在线段P₁P₂的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求得两组外公切线.

1.1.2 |r₁-r₂|=d

  两圆内切, 两圆外公切线的切点T₁和T₂均与两圆切点重合.
    过两圆切点作直线段P₁P₂的垂线, 该垂线就是外公切线(只有一组).

1.1.3 |r₁-r₂|>d

  无公切线

1.2 r₁=r₂

1.2.1 d=0

  两圆重合, 有无数的外公切线(无意义, 应排除).

1.2.2 d≠0

  设外公切点为分别T₁, T₂, 显然角T₁P₁P₂ 等于 角T₂P₂P₁等于 90˚.

  所以, 过P₁, P₂点分别作线段P₁P₂的垂线, 与圆c₁, c₂分别有两个交点, 在线段P₁P₂的同侧的点就是外公切点T₁, T₂ (有两组).

2. 两圆的内公切线

                 内公切线

2.1 r₁+r₂<d

  如上图, 以P₁为圆心, r₁+r₂为半径画圆为c₃, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c₄, 则圆c₃与圆c₄相交于点Q (有两点), 用直线连接点P₁与Q, 则线段P₁Q交圆c₁于点T₁(内公切线与圆c₁相切的点), 过P₂作P₁T₁的平行线, 交圆c₂于点T₂(与点T₁不在线段P₁P₂的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求两组内公切线.

2.2 r₁+r₂=d

  两圆外切, 两圆内公切线的切点T₁和T₂均与两圆切点重合.
    过两圆切点作直线段P₁P₂的垂线, 该垂线就是内公切线(只有一组).

2.3
    r₁+r₂>d

  两圆间不存在内公切线.

jkbanana

圆的公切线(二)

B 解析几何方法:

  为求解公切线, 首先要确定是画外公切线, 还是内公切线.
   可以通过对话框或输入关键词来确定是画外公切线, 还是内公切线. 由于一般情况下外公切线和内公切线各有两条, 所以还得确定画在什么位置.

  此处采用以下方法: 如下图所示, 在选择圆时, 使选择点S₁, S₂靠近公切线的切点T₁, T₂(大概范围, 应远离由两圆心P₁, P₂确定直线), 当选择点(S₁, S₂)在由两圆心确定直线的同一侧时, 就在相应的一侧画外公切线, 不在同一侧时, 就在相应的部位画内公切线.

      同一侧                             异侧

  设以P₁为起点, 以P₂, S₁, S₂为终点的矢量的单位长度矢量分别为V₀, V₁和V₂.

    V₀= (P₂ - P₁)/|P₂ - P₁|

    V₁=(S₁ - P₁)/|S₁ - P₁|

    V₂=(S₂ - P₁)/|S₂ - P₁|

  关于"已知一直线(给定不重合的两端点P₁, P₂), 确定两点S₁, S₂是否在直线的同一侧?"的问题,
   感兴趣者请参考帖子"点在直线哪一侧问题的求解".

1. 两圆的外公切线

  这时选择点S₁与S₂在过两圆心P₁, P₂的直线的同一侧, 即

   (V₀×V₁) · (V₀×V₂) > 0

          外公切线

1.1 |r₁-r₂|<d

  如上图, 假设r₁>r₂. 以P₁为圆心, r₁-r₂为半径画圆为c₃, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c₄, 则圆c₃与圆c₄相交于点Q (有两点), 已P₁为起点, 过点Q可作1条射线, 该射线交圆c₁于点T₁(外公切线与圆c₁相切的点), 过P₂作P₁T₁的平行线, 交圆c₂于点T₂(与点T₁在线段P₁P₂的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求得两组外公切线.

以下用解析几何方法求T₁与T₂(数组的索引从0开始).

  设T₁ = (T₁(0), T₁(1), T₁(2) )^T, T₂ = (T₂(0), T₂(1), T₂(2) )^T, 又设角P₂P₁Q为q (逆时针旋转为正), 则

    -π/2 < q < π/2

    cosq = (r₁ - r₂) / d  >0   (上述模型中r₁-r₂为圆c₃的半径, 必须满足r₁>r₂ ^*1)

因为点Q有两点, 所以

   q = ±Arccos((r₁ - r₂) / d)

q 的符号可由外积(V₀×V₁)与z轴的正方向(0, 0, 1)^T按以下方法确定,

     当 (V₀×V₁) · (0, 0, 1)^T > 0, 即V₀(0)V₁(1) - V₀(1)V₁(0) > 0 时, q = Arccos((r₁ - r₂) / d)

     当 (V₀×V₁) · (0, 0, 1)^T < 0, 即V₀(0)V₁(1) - V₀(1)V₁(0) < 0 时, q = -Arccos((r₁ - r₂) / d)

  设以P₁为起点, 以T₁为终点的矢量的单位长度矢量为V₃, 则

   V₃ = P₁T₁ / |P₁T₁|                  (未知)

  未知单位长度矢量V₃可以由单位长度矢量V₀按逆时针旋转q 弧度获得. 而矢量按逆时针旋转q 弧度,
   就相当于对应的坐标轴按逆时针旋转-q 弧度而得到的结果,
   这时的坐标旋转转换矩阵a为

由坐标转换, 矢量V₃可由下式计算

   V₃(i) =a(i, j) V₀(j)            (i=0,2; j=0,2)

所以,

   T₁(i) = ₁(i) + r₁V₃(i)        (i=0,2)

   T₂(i) = ₂(i) + r₂V₃(i)        (i=0,2)

注*1:

  当r₁=r₂时, 虽然用前述的几何法无法做出公切线, 但解析方法仍然可以正确地求出T₁与T₂ (此时, q
  = ±π/2);

  当r₁<r₂时, 可同时互换P₁与P₂, r₁与r₂的值, 以满足r₁<r₂的要求.

1.2 |r₁-r₂|=d

1.2.1
  d=0 (r₁=r₂)

  两圆重合, 有无数的外公切线(无意义, 应排除).

1.2.2 d≠0

  两圆内切, 两圆外公切线的切点T₁和T₂均与两圆切点重合.
   过两圆切点作直线段P₁P₂的垂线, 该垂线就是外公切线(只有一组).
  切点T₁和T₂可以用1.1的方法算出.

1.3 |r₁-r₂|>d

  无公切线

 

 

 

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2. 两圆的内公切线
   

  这时选择点S₁与S₂不在过两圆心P₁, P₂的直线的同一侧, 即
   

   (V₀×V₁) · (V₀×V₂) < 0

          内公切线

2.1 r₁+r₂<d
    

  如上图, 以P₁为圆心, r₁+r₂为半径画圆为c₃, 又以M为圆心, d/2为半径画圆为c₄, 则圆c₃与圆c₄相交于点Q (有两点), 用直线连接点P₁与Q, 则线段P₁Q交圆c₁于点T₁(内公切线与圆c₁相切的点), 过P₂作P₁T₁的平行线, 交圆c₂于点T₂(与点T₁不在线段P₁P₂的同侧). 因为点Q有两点, 所以总共可求两组内公切线.

以下用解析几何方法求T₁与T₂(数组的索引从0开始).

  设T₁= (T₁(0), T₁(1), T₁(2) )^T, T₂ = (T₂(0), T₂(1), T₂(2) )^T, 又设角P₂P₁Q为q (逆时针旋转为正), 则
    

   -π/2 < q < π/2

   cosq = (r₁ + r₂) / d >0   (因为r₁ + r₂恒大于0, 所以r₁与r₂的大小关系可以是任意的)

因为点Q有两点, 所以
     

   q = ±Arccos((r₁ + r₂) / d)
    

  与外公切线的计算相同, q 的符号可同样由外积(V₀×V₁)与z轴的正方向(0, 0, 1)^T来确定.

  以P₁为起点, 以T₁为终点的矢量的单位长度矢量V₃,可同样由单位长度矢量V₀按逆时针旋转q 弧度获得, 坐标旋转转换矩阵a
   也与外公切线的计算相同, 矢量V₃可由下式计算
    

   V₃(i) =a(i, j) V₀(j)            (i=0,2; j=0,2)
    

所以,

   T₁(i) =P₁(i) + r₁V₃(i)   (i=0,2)
    

   T₂(i) =P₂(i) - r₂V₃(i)   (i=0,2)  (因T₂与T₁不在线段P₁P₂的同一侧,所以取"-"号)
     

2.2 r₁+r₂=d
     

  两圆外切, 两圆内公切线的切点T₁和T₂均与两圆切点重合.
    过两圆切点作直线段P₁P₂的垂线, 该垂线就是内公切线(只有一组).
   切点T₁和T₂可以用2.1的方法算出.
    

2.3 r₁+r₂>d
     

  两圆间不存在内公切线.
    

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下面的VBA程序是用上面的理论求解两圆公切线的简单小例子。

 

jkbanana

因为有162400字节的限制，只好分3次发表。

而且发表的帖子会在句子的中途自动变行？要调整好几次才可以？