求助:空间中的两条直线的最近点

cqy

空间中的两条直线pt1.pt2和pt3.pt4交叉而不相交,如何求出直线上与另一直线最近的点?

jkbanana

给出一个思路

 设2直线的矢量分别为

  v1=pt1 - pt2

  v2=pt3 - pt4

1. 由v1和v2决定的平面法线

   vn = v1 x v2    (外积)

2. 过v1且法线vn的平面方程为

  vn(1)(x-pt1(1))+ vn(2)(y-pt1(2))+ vn(3)(z-pt1(3))=0

整理后

  vn(1) x + vn(2) y + vn (3) z - ( vn(1) pt1(1)+ vn(2) pt1(2)+ vn(3) pt1(3 ) ) =0

 

3. v1与v2不相交的话，v2必不在上面的平面内

v2的端点在上面的平面上的投影点分别为

  pt3  --> w1

  pt4  --> w2

【点在平面上的投影点的求法：

设点P(P1,P2,P3) 在 平面 Ax + By + Cz + D = 0 上的投影点Q(Q1,Q2,Q3)的求法.

设PQ的距离为t , 直线PQ与平面的法线N(A,B,C)平行,所以，

Q=P + t N

即 Q1 = P1 + At

   Q2 = P2 + Bt

   Q3 = P3 + Ct

由于Q在平面上,所以，

   A P1 + A²t + B P2 + B²t + C P3 + C²t + D = 0

整理得

   t = - (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A² + B² + C²)

因此, 投影点Q的成分为

   Q1 = P1 - A (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A² + B² + C²)

   Q2 = P2 - B (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A² + B² + C²)

   Q3 = P3 - C (A P1 + B P2 + C P3 + D) / (A² + B² + C²)

】

 

4.结论：

  这样就可以求出v1(pt1,pt2)与v2在上面的平面上的投影线(w1,w2)的交点G, 过G点做直线v2的垂足H (求法在本论坛公布过), 则线段GH的长度就是所要求的距离；如果没有交点, 说明v1和v2是平行直线, 则过直线v1上任意一点P, 做v2的垂足Q, 则线段PQ的长度就是所要求的距离.

cqy

多谢Jkbanana师傅的指点,目前对于法面等理解有限,路比较远,想到土的办法:在其中一条线上分割成若干个点,比较各点与另一条线的垂线长度,取最短的,依此类推,经若干次运算得出一结论,不知行不行?