三角形作图题

hejoseph

受qjchen推荐注册初来，发个近来想到的题目：

给定一个三角形，在三角形内部求作一点，这点到三边的垂足把三角形分割成三个四边形。

（1）使三个四边形的面积相等；

（2）使三个四边形的周长相等。

qjchen

:)

谢谢hejoseph老师应邀而来，请多出题多解题，谢谢谢谢。

得到此题除特殊情况外，应不能同时满足的吧。

1）应可通过构造到三边距离成边长反比的轨迹得到，应该是三条分别通过三个顶点的直线，交于一点，该点为所求。

不好意思，想错了，继续思考中

2）思考中，应该比较难。先去上班，再慢慢想。

希望常来~~，最近较忙，无法常做题，见谅~~

hejoseph

呵呵，可能我上面那样写引起误会了，实际上就是两道题目，不需要同时满足（1）和（2）的。

hejoseph

这个题目的结果出乎意料，第二问比第一问要简单很多。

第一问是不能用尺规作图法做出的，但可以用两条等轴双曲线其中一支的交点得到。

第二问解法如下：
设点P是△ABC内一点，点P到边BC、CA、AB的垂足分别是D、E、F，四边形BDPF的周长和四边形CDPE的周长相等。
设BD=x，BF=y，CD=p，CE=q。
因为点B、D、P、Q共圆，并且BP是这个圆的直径，根据正弦定理以及余弦定理，得到
BP=√(x^2+y^2-2xycosB)/sinB，
于是
PD^2=BP^2-BD^2=((y-xcosB)/sinB)^2，
因为y>xcosB，所以
PD=(y-xcosB)/sinB。
同理得
PF=(x-ycosB)/sinB，
PD=(q-pcosC)/sinC，
PE=(p-qcosC)/sinC，
这样就得到
(y-xcosB)/sinB=(q-pcosC)/sinC，……（1）
四边形BDPF的周长为
(x+y)(1+sinB-cosB)/sinB，
四边形CDPE的周长为
(p+q)(1+sinC-cosC)/sinC，
(x+y)(1+sinB-cosB)/sinB=(p+q)(1+sinC-cosC)/sinC，……（2）
再边BC的关系得到
x+p=a，……（3）
方程（1）、（2）、（3）组成一个方程组解出y、p、q，下面只列出y值
y=(x(1-cosB(cosC-sinC))-sinB(a-2x+(a-x)(cosC+sinC)))/(cosB-sinB-cosC+sinC)，
这样
PD=(x(2+cosB+sinB+cosC+sinC)-a(1+cosC+sinC))/(cosC-sinC-cosB+sinB)，
设想点P'在边BC上时，P'E'垂直于CA，P'F'垂直于AB，△BP'F'与△CP'E'周长相等，则
BP'/CP'=(1+cosC+sinC)/(1+cosB+cosB)，
BP'=((1+cosC+sinC)a)/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，
这样
(x-BP')/BP=(cosB-sinB-cosC+cosC)/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，
因此周长相等的轨迹是一条线段，这条直线过点P'，并且与BC的夹角的余切值为|cosB-sinB-cosC+cosC|/(2+cosB+sinB+cosC+sinC)，这个角向角大的一边倾斜。
利用这个结论，做两线段的交点就是第二题要求的点了。

qjchen

一直不敢去想第二题，原来居然轨迹是直线

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那看来和cqhm兄的这道题有点类似了。

http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=2939677908&z=293487947&pn=0&rn=50&lm=0&word=%BC%B8%BA%CE#2939677908

已知锐角三角形ABC，P为三角形ABC内部一点，

P在BC边上的射影为D，P在CA边上的射影为E，P在AB边上的射影为F。

若有AF+BD+CE=AE+BF+CD，求所有这样的点P的轨迹。

且来思考下是否存在比较有几何意义的解法。
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既然Hejoseph老师证明了是线性问题，那以下尝试用采用线性插值法，构造四个关键点，来确定这两条直线。

如下做，应该还有更简单的关键点的吧。

 

hejoseph

确定那条轨迹线是比较容易的，先确定分点，然后再确定倾斜角就可以作出直线了，根据上面的公式，角B、C是给定的，那么分点和倾斜角是很容易根据公式用尺规作图法作出的。