四边形的内切圆作图

hejoseph

凸四边形ABCD有内切圆，给定点A、B、C、D到内切圆切点的切线长分别是w、x、y、z，求作这个凸四边形。

虽然这个作图题目是可以用尺规法作出，因为内切圆半径为r，则r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)，但我觉得这种方法不够简便，是否有更简便的方法，就如知道有外接圆的凸四边形的四边长求作凸四边形的作图法那样。

qjchen

记得有解法的，得翻箱倒柜一下了。

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当时这道题目

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=63301

大致是从此处得到的

http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Circumscriptible_Construction.html

确实如Hejoseph兄所言存在该规律

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不过若仍按照yimin兄的解法，是否可以如下

 

yimin0519

Qjchen先生为人谦恭，我行事有时就靠瞎撞，登不得大雅的。解此题在下觉得轨迹法确实较快。

hejoseph

圆心轨迹确实是一个半圆，不知道之前有没有证明过？

若固定AB，则圆心在边AB上，设为O，则AO/BO=DA/BC，圆半径为√(AB·BC·CD·DA)/(AB+CD)，其推导过程可以参考
http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=65534
第四楼我推导最大内切圆半径的方法。
有了这个结论，作出这个内切圆也比较容易了。

hejoseph

给定切线长求内切圆半径的方法：
tan(A/2)=r/w，
tan(B/2)=r/x，
tan(C/2)=r/y，
tan(D/2)=r/z，
于是
tan((A+B)/2)=(tan(A/2)+tan(B/2))/(1-tan(A/2)tan(B/2))=(w+x)r/(wx-r^2)，
tan((C+D)/2)=(tan(C/2)+tan(D/2))/(1-tan(C/2)tan(D/2))=(y+z)r/(yz-r^2)，
又因为
tan((A+B)/2)+tan((C+D)/2)=0
把上面两式右边代入化简，得
wxy+wxz+wyz+xyz-(w+x+y+z)r^2=0，
这样就得到
r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)，
根据这个结论还可以得到一个推论：
此时四边形的面积的平方为
(w+x+y+z)(wxy+wxz+wyz+xyz)。

qjchen

:) 谢谢 Hejoseph老师。

此公式挺漂亮的啊，原来是如此证明，学习了，也学习了圆周定理：）

hejoseph

下面用轨迹法得到的作图法的验证，由于想适用性比较广，我使用了稍为麻烦的作图法，即作轨迹时分点用平行线的方法，作圆半径时候用了相交弦定理和平行的比例性质。

后面的压缩文件里是几何画板文件，分别拖动w、x、y、z的两端点可以改变切线长的大小，拖动点A、B可以改变四边形ABCD的位置。