[求三角形] 顶点在三同心圆上的三角形

watt5151 · 发表于 2008-9-29 10:00:00

本帖最后由作者于 2008-9-29 14:25:14 编辑

已知三个同心园
请问如何在三个园各作A、B、C点，
使得△ABC的三边之比为m：n：p

qjchen · 发表于 2008-9-29 11:04:00

本帖最后由作者于 2008-9-29 11:12:24 编辑

：）
只能保证相似，全等要靠运气了吧

此处是Hejoseph兄关于此问题的拓展，是尺规可解的。

hejoseph · 发表于 2008-9-29 11:34:00

绝大部分情况下都是无解的，除非很碰巧。点A可以任意选择（不是点A，假定三角形是存在的，那么旋转适当角度就可以把顶点旋转到与点A重合了），作AB=m、AC=n是人容易的，此时BC是否长度为p就很难说了。

watt5151 · 发表于 2008-9-29 14:34:00

对不起，抄错题了。

编辑更正的题目见一楼。

按常规，已知条件 m:n:p 的值，将使问题可解。

chenjun_nj · 发表于 2008-9-29 22:38:00

本帖最后由作者于 2008-9-30 0:26:58 编辑

假设A、B、C所在的圆是指定的，那么一般情况有2个解。
先按边长为m:n:p任作一个三角形A'B'C'；
按同心圆的半径比在三角形A'B'C'的2个边作2个阿波罗尼斯圆(watt5151又要说我用阿氏圆了....

)；
2个阿氏圆一般有2个交点；
分别将三角形A'B'C'以这2个交点为基准定位到同心园心；
剩下的就是将三角形的顶点以圆心为基点缩放到圆周。

watt5151 · 发表于 2008-9-30 10:31:00

楼上chenjun_nj给出了本题的通俗作法，谢谢。
本题与下帖是等价的，其中5楼的作法二也是阿波罗尼斯圆 . .
不过，楼主对5楼的三个‘完成任务式的作法’均不满意，
不知道各位阁下有没有简单有趣的妙法？

watt5151 · 发表于 2008-9-30 10:42:00

如果m∶n∶p=1:1:1
本题就变为：
已知三个同心园
请问如何在三个园各作A、B、C点，
使得△ABC为等边三角形

简单作法：
①作大、小园半径OB、OB`，使得BB`等于中园半径
②作等边△OB`A
③作等边△ABC
则等边△ABC为所求

证明：
①根据作法，B、A分别在大、小园上
②∵△OAC≌△B`AB
∴OC=B`B=中园半径
∴C在中园上
完了

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