几何作图题74-四边形内求点，满足垂足四边形为平行四边形

qjchen

几何作图题74-四边形内求点，满足垂足四边形为平行四边形
难度系数:4.0/5

 

watt5151

有意思，想一下 .  .

watt5151

watt5151发表于2008-10-3 7:38:00有意思，想一下 .  .

分析：
∵ODSinD=SR=PQ=OBSinB
∴OD:OB=SinB:SinD=定值
与阿波罗尼斯园有关系；
同理，OA:OC=SinC:SinA=定值
与阿波罗尼斯园也有关系。
据此作出二个阿波罗尼斯园，它们的交点为所求的O点

hejoseph

分析：不妨假设∠A≥∠C，∠B≥∠D。设所求点是P，到AB、BC、CD、DA的垂足分别是E、F、G、H，则
∠BPE=∠BFE，∠DPH=∠PGH，∠BFE+∠DGH=∠C，∠EPH=180°-∠A，
所以
∠BPD=180°-∠A+∠C。
同理可得
∠APC=180°-∠B+∠D。
当∠A=∠C，则点P在线段AC上；当∠A>∠C，点P在过点B、D靠近点C一侧的圆弧上，这段圆弧所含的圆周角是180°-∠A+∠C。
当∠B=∠D，则点P在线段BD上；当∠B>∠D，点P在过点A、C靠近点D一侧的圆弧上，这段圆弧所含的圆周角是180°-∠B+∠D。
由此得到作图法：
（1）当∠A=∠C，作线段AC；当∠A≠∠C，作过点B、D靠近较小角一侧的圆弧，这段圆弧所含的圆周角是180°-∠A+∠C；
（2）当∠B=∠D，作线段BD；当∠B≠∠D，作过点A、C靠近较小角一侧的圆弧，这段圆弧所含的圆周角是180°-∠B+∠D；
（3）步骤（1）、（2）中的线段或圆弧的交点就是所求的点。

qjchen

:)

Hejoseph的做法如同教科书一般漂亮，watt5151小姐的做法也是非常精妙。

学习一招了，谢谢。