[求作]刁题一则 过已知点作△

watt5151

已知P是⊙O外一点，

请问如何作出⊙O的所有外切△ABC：

使得P点在AB边上，

并且△ABC的外接圆半径等于⊙O的直径。

 

qjchen

:)

watt小姐此题是双心三角形吧

具体性质
http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

此题中，双心三角形只要满足

Euler—Chapple定理：d^2＝R^2－2Rr，其中R，r分别是外接圆和内切圆的半径

即可

或者叶中豪老师的此贴
http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4013872&oldpage=14&thesisid=494&flag=topic1

在本版中
highflybird版主曾经出过双心四边形

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=55280

在百度几何吧中

天下无毒_史先生 曾经研究，双心4，5，6边形，我也按图索骥的画过双心7边形，挺有趣 的

http://tieba.baidu.com/f?kz=272370173

http://tieba.baidu.com/f?kz=271943021

http://tieba.baidu.com/f?kz=269152689

 

 

watt5151

    请问，△ABC唯一吗？

题目没有表明△ABC的外接圆与内切园同心的呀 . .

watt5151

2楼qjchen作的对。

本题的刁处在于不知道△ABC的外接圆、内切园是不是同心。
设外接圆、内切园的半径为m、n，两园心距离为d
∵m=2n（已知）
∴d=㎡-2mn=0
∴外接圆、内切园同心
∴△ABC是等边三角形。
也可以由费尔巴哈九点园来理解：
△ABC中
∵费尔巴哈九点园的半径=外接圆半径的一半=内切园半径
又∵费尔巴哈九点园外切于内切园
∴费尔巴哈九点园与内切园重合
∴每边与内切园的切点也是中点也是垂足（费尔巴哈九点园）
∴△ABC是等边三角形。