[原创]已知垂心到三顶点距离，求作三角形

watt5151

请问如何作出下面的△ABC：
它的垂心到顶点A的距离等于已知定值m
它的垂心到顶点B的距离等于已知定值n
它的垂心到顶点C的距离等于△ABC的外接圆半径

chenjun_nj

作法：
以m/2为半径作绿色圆、n/2为半径作红色圆，以任意2倍关系的半径作2个蓝色实线圆；
任作一条绿色圆的切线交大的蓝色圆于B'、C'两点，过B'点作蓝色小圆的两条切线交蓝色大圆于A'、A"两点；
连接A'C'和A"C'，过O作OD⊥A'C'、OE⊥A"C'，同时交红色圆于两点；
过红色圆上的两点分别作A'C'、A"C'的两条平行线交B'C'线于两个C点，以O为圆心、分别以两个OC为半径作两个蓝色虚线圆交B'C'线于另两点B，与先前的平行线的交点为A，完成。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-15 19:04:00作法：以m/2为半径作绿色圆、n/2为半径作红色圆，以任意2倍关系的半径作2个蓝色实线圆；任作一条绿色圆的切线交大的蓝色圆于B'、C'两点，过B'点作蓝色小圆的两条切线交蓝色大圆于A'、A\"两点；

楼上作法，转来转去，颇有匹多教授“生锈的园规”之风味；
如何证明？有难度呀。
有简法吗？只需二步！！

qjchen

chenjun_nj兄的做法很好啊

我补充一个。

（再看了chenjun_nj兄的做法，发现我只做出其中一个，那么，在第一步中，把120°改为60°，后面采用类似做法，可以得到另外一个钝角三角形解。）

 

watt5151

作法不错，不知道有没有证明？

 

chenjun_nj

我的作法的证明（我也是作完后才发现证明的）：
很快就能发现图中所有的∠1均是相等的（全等△结合同弧上的圆周角是圆心角的一半）；我们只要再证明∠1对半径比为定值的两个圆就是一个固定值，∵cos(∠1)=OP/OA'=定值，∴∠1=定值
本题中两个圆的半径为2倍关系，∠=60°，可以直接作2条60度角线完成作图。
题目改成C点距垂心为外接圆半径的任意倍数也是一样的作法。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-16 21:10:00我的作法的证明

上述题目被人打入了“难作之图”的黑名单。
楼主将其中的第20题，拼接下面这道匈牙利竞赛题，哈哈，一楼的题就出来了。
锐角△ABC的B点到垂心、外心的距离相等，求∠B
答案：
60°
（1990 匈牙利数学奥林匹克）

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-16 21:10:00我的作法的证明

引理1：垂心与三顶点的连线，将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形的外接圆的大小都相等，并且等于△ABC的外接圆
引理2：由这三个小三角形的外接圆园心组成的三角形，全等于△ABC
证明匈牙利竞赛题：
∵B点到垂心、外心的距离相等
∴由引理，△BHP与△BHQ是等边三角形
∴∠PBQ=120°
∴园周角∠B=(园心角∠AOC)/2=(∠PBQ)/2=60°

证明4、5楼的作法：
∵由引理，△BPQ≌△HPQ≌△OAC
∴∠PBQ=∠AOC=2∠B=120°
∴∠BQH=2∠BQP=60° 
∴△BQH等边
∴BH=BQ=△ABC的外接圆半径