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[余美题集] [求作] 老题:求园上一点,它到已知角两边的距离之和取最值

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发表于 2008-10-20 12:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
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发表于 2008-10-20 23:48 | 显示全部楼层
watt5151的题目很有意思。
作法:
作∠A的平分线m;过O作PP'∥m,交⊙O于P、P'两点,离A远的P点就是达到最大值的点,P'点是最小值点。
证明:
以m线为镜面作⊙O及PF线的镜像,作HI线,可知PF+PG=2HI,而要HI为最大必须AH为最大,∵PH是两圆的外公切线,∴AH达到最大;
同理可证P'点为最小。

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 楼主| 发表于 2008-10-21 09:07 | 显示全部楼层
chenjun_nj发表于2008-10-20 23:48:00作法:作∠A的平分线m;过O作PP'∥m,交⊙O于P、P'两点,离A远的P点就是达到最大值的点,P'点是最小值点。

chenjun_nj的作法OK啦,简单证明如下:

过P作⊙O的切线,得:AB=AC
根据‘等腰三角形底边上任一点到二腰的距离之和等于腰上高’,得PG+PF=CH
易知CH是最大的,所以,PG+PF最大。
同理,点P`是令P`G+P`F最小的点。

 

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