求球面距离

hejoseph

这是航海中很常见的问题：

知道球面半径以及球面两点的经纬度，求这两点的球面距离。

chenjun_nj

假设球心为O、球面半径为r，经度用φ表示，从赤道起的纬度用θ表示。球面上有A(φ1,θ1)、B(φ2,θ2)两点，AB的球面距离就是过A、B点的大圆弧长。
用向量几何求解：
OA=r(cos(θ1)cos(φ1)i+cos(θ1)sin(φ1)j+sin(θ1)k)
OB=r(cos(θ2)cos(φ2)i+cos(θ2)sin(φ2)j+sin(θ2)k)
OA与OB矢量的点积为
OA.OB=r^2(cos(θ1)cos(φ1)cos(θ2)cos(φ2)+cos(θ1)sin(φ1)cos(θ2)sin(φ2)+sin(θ1)sin(θ2))
=r^2(cos(θ1)cos(θ2)(cos(φ1)cos(φ2)+sin(φ1)sin(φ2))+sin(θ1)sin(θ2))
=r^2(cos(θ1)cos(θ2)cos(φ1-φ2)+sin(θ1)sin(θ2))
那么
cos(∠AOB)=OA.OB/(|OA||OB|)
=r^2(cos(θ1)cos(θ2)cos(φ1-φ2)+sin(θ1)sin(θ2))/(r*r)
=cos(θ1)cos(θ2)cos(φ1-φ2)+sin(θ1)sin(θ2)
AB的大圆弧长=r*∠AOB

qjchen

chenjun_nj兄正解的很啊

http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html

hejoseph

chenjun_nj兄的向量方法是极好的方法，在球面几何中这个问题一般是用球面三角的边的余弦定理去解决的，这个定理可以立即写出cos∠AOB=cos(θ1)cos(θ2)cos(φ1-φ2)+sin(θ1)sin(θ2)这个结果，若有兴趣可以看看球面三角的内容，我迟点也整理一些基本定理上来。