几何作图题82-做一线切三角形，得到最大三角形面积

qjchen

作图题82

难度系数：4.2/5

 

aneasthesia

chenjun_nj

分析：
以(ABC)表示△ABC的面积
(EFG)=(DEG)-(DEF)=0.5DE(CGsinC-BFsinB),而DE为定值，∴当CGsinC-BFsinB为最大时，(EFG)为最大；
令f(α)=CGsinC-BFsinB=CDsinαsinC/sin(α+C)-BDsinαsinB/sin(B-α)
要使f(α)为最大，必须df(α)/dα=0
df(α)/dα=CDcosαsinC/sin(α+C)-CDsinαsinCcos(α+C)/(sin(α+C))^2-BDcosαsinB/sin(B-α)-BDsinαsinBcos(B-α)/(sin(B-α))^2
=CD(sinC/sin(α+C))^2-BD(sinB/sin(B-α))^2=0
即(sin(B-α)/sin(α+C))^2=BD/CD(sinB/sinC)^2
∵上式中所有的值均为正值，∴sin(B-α)/sin(α+C)=(BD/CD)^0.5*sinB/sinC
在△AFG中，sin(B-α)/sin(α+C)=AG/AF；在△ABC中，sinB/sinC=AC/AB
∴AG/AF=AC/AB*(BD/CD)^0.5
只要过D点作线使AG/AF满足以上条件即可。
作法：
连DA，过B点作BK∥AD交AC于K；在CA的外延长线上取AM=AK；以MC为直径作⊙；过A作AM⊥AC交⊙于N点；在AC上取AS=AN；连BS，过D作DG∥BS交AB于F点、交AC于G点。完成。
证明：
由作法可知
AG/AF=AS/AB=(MA*AC)^0.5/AB=(AK*AC)^0.5/AB=(AC*BD/CD*AC)^0.5/AB=(AC*AC)^0.5/AB*(BD/CD)^0.5=AC/AB*(BD/CD)^0.5
∴AG/AF满足前面分析的条件，(EFG)一定达到最大值。
证毕

深入思考：E点在BC中间的位置影响结果吗？结论是没有任何关系，因为满足条件与E点无关！！！

chenjun_nj

再思考：
既然结果与E点位置无关，那么可以设E与C重合，这样就有
(CFG)=(CFA)*CG/AC=(ABC)*AF/AB*CG/AC=(ABC)*AF*CG/(AB*AC)
我们知道AB、AC及(ABC)均为定值，那么当AF*CG达到最大时(CFG)为最大，同样可以推出满足的条件式；
当然也可以设E与B点重合，那样就要求AG*BF达到最大；
所以本题的解使(EFG)达到最大值时，AF*CG和AG*BF同时也达到最大。

qjchen

题目确如二位所完成，待明天我也将书中答案列出。做法也是类似的。