玫瑰线问题

hejoseph

这是一类图象比较漂亮的曲线：玫瑰线的极坐标方程是ρ=sin(aθ)，其中a是正数，a=1时图象有一叶，a=2时图象有四叶，a=3时图象有三叶，a=4时图象有八叶。
若a是正整数时，图象有多少叶？
若a是正有理数，图象有多少叶？
若a是正无理数，图象有多少叶？

还有另一个值得思考的问题：a越大，则叶的宽度直观上是越小的，如何合理度量叶的宽度？又如何根据宽度定义证明宽度随a增大而缩小？

chenjun_nj

若a为正整数，叶数n=a*(1.5+0.5*(-1)^a)；
若a为非整数的正数，完整的叶数n=INT(2a)；（INT为取整函数）（只考虑了θ在0~360，应该还要复杂）
单叶的宽度可以用解析几何方法求得，不过我设想一个对原点的变换（类似反演变换）用纯几何的方法计算，还没想出来。

hejoseph

chenjun_nj兄的第一个结论是正确的。

关于叶数的结论如下：
（1）如果$a$是奇数，则有$a$叶；如果$a$是偶数，则有$2a$叶。
（2）如果$a=p/q$，$p$、$q$都是正奇数，$p$、$q$互素，则有$p$叶；如果$a=p/q$，$p$、$q$一奇一偶，$p$、$q$互素，则有$2p$叶。
（3）有无数叶。
其实（2）的结论已经包含了（1）的结论了。

如何推导迟点再放上来。

baoshisun4

我是这样考虑的：只需得到每一叶的对称轴（过O的射线）与单位圆的交点数目．

先就n是正整数推导：

由$r(theta)=sin(ntheta)=>r^'(theta)=ncos(ntheta)=0,theta=(2k+1)/(2n)pi,r=sin(ntheta)=(-1)^k$,

这样交点是$M_k-=(-1)^k(cos((2k+1)/(2n))pi,sin((2k+1)/(2n)pi)),k=0,1,...,2n-1$.

当$n是奇数时，k_1-k_2=n,M_(k_1)-=M_(k_2),有n叶；偶数时，2n叶$.

叶宽可以用每一叶的两条切线的夹角$theta=pi/n$来度量．

hejoseph

上面的方法是好方法，我的推导迟点发上来。

hejoseph

hejoseph

θ从0开始描绘了一叶的这个范围内的θ，给定某个大于0的r，当使ρ≥r时θ取一点使其坐标为P(r,θ)，这点随θ增大时动点P走过的路径长度定义为函数f(r)。
叶的宽度我是这样定义：上述函数f(r)的最大值定义为叶的宽度。
如下图绿色的部分：

并且用这个定义证明了宽度的结论了。