[求作]作六边形

watt5151

已知定长线段m、n
请您作六边形：
它的相邻三边的长度都等于m ，另外三边的长度都等于n
它有外接圆。

chenjun_nj

作R=((m*m+n*n+m*n)/3)^0.5的圆，就是所求六边形的外接圆。
证明：
设m边对应的圆心半角为α，n边对应的圆心半角为β，
那么sinα=m/(2R);sinβ=n/(2R);而我们知道3α+3β=180°，即sin3α=sin3β;
而sin3α=-4(sinα)^3+3sinα;sin3β=-4(sinβ)^3+3sinβ
我们可以得到：-m*m*m/(2R*R*R)+3m/(2R)=-n*n*n/(2R*R*R)+3n/(2R)
3m*R*R-3n*R*R=m*m*m-n*n*n=(m-n)(m*m+n*n+m*n)
3(m-n)R*R=(m-n)(m*m+n*n+m*n)
R*R=(m*m+n*n+m*n)/3
R=((m*m+n*n+m*n)/3)^0.5

hejoseph

只要作m、n长度的夹角为120°的三角形的外接圆就可以了。

chenjun_nj

对，既然3α+3β=180°，那么α+β=60°，对应边夹角就是120°

watt5151

hejoseph发表于2008-12-8 13:01:00只要作m、n长度的夹角为120°的三角形的外接圆就可以了。

谢谢各位阁下的精彩解法，简洁为上啦。

 

作：
①作∠ABC=120°
②取AB=m  BC=n
③过A、B、C作园
按题意要求完成六边形。
证明要点：
圆被分为三组等弧，每组等弧度数等于120°