[求作]垂直之弦

watt5151

K是已知园内一定点，
请您过K作二条互相垂直的弦，
使得二弦长度之和最大

chenjun_nj

已证明，过K作两条与K和圆心连线成45度角的弦长之和为最大。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-12-16 16:02:00已证明，过K作两条与K和圆心连线成45度角的弦长之和为最大。

chenjun_nj的结论是对的呀，可以出示这个有趣的证明吗？

作：
以OK为对角线作正方形OAKB
则过KA、KB的弦为所求。

chenjun_nj

如图：
AB+CD=2(R^2-(OK*sinα)^2)^0.5+2(R^2-(OK*cosα)^2)^0.5
=(4R^2-4OK^2*(sinα)^2+4R^2-4OK^2*(cosα)^2+8(R^2-(OK*sinα)^2)^0.5*(R^2-(OK*cosα)^2)^0.5)^0.5
=2(2R^2-OK^2*((sinα)^2+(cosα)^2)+2(R^4-R^2*OK^2*((sinα)^2+(cosα)^2)+OK^4*(sinα*cosα)^2)^0.5)^0.5
=2(2R^2-OK^2+2(R^4-R^2*OK^2+OK^4*(sin2α)^2/4)^0.5)^0.5
≤2(2R^2-OK^2+2(R^4-R^2*OK^2+OK^4/4)^0.5)^0.5
等号当sin2α=1时成立，即α=45°

baoshisun4

我来给个几何味道浓一点的证法：$(AC+BD)^2<=2(AC^2+BD^2)=2[(AK+CK)^2+(BK+DK)^2]$,

于是$(AC+BD)^2<=2[(AK^2+DK^2)+(BK^2+CK^2)+2(AK*CK+BK*DK)]=2(AD^2+BC^2+4AK*CK)$,

而$AD^2+BC^2=AD^2+AE^2=DE^2=4R^2,AK*CK=R^2-OK^2,AC+BD<=2sqrt{2(2R^2-OK^2)}$,

最大值当$AC=BD时取到，此时O到AC,BD等距$!

 

watt5151

证明可行，谢谢各位。