几何作图题100-过二圆交点做三角形，使得面积相等

qjchen

几何作图题100-过二圆交点做三角形，使得面积相等

难度：4.0

 

此前100题之内，大多可以有尺规解，也大多都是肯定有解的。

此后的题目或者会更简单些以方便更多朋友参与

也可能会只是预计可解不一定很容易解的以待讨论。

其实要是可能的话，应该让计算机和几何多结合的，讨论一些计算几何的问题。

chenjun_nj

先答一个
作法：
连O2A，过A点作AF⊥O2A交⊙O1于另一点F；
作FG∥O2A，并且FG=r1*r1/r2(r1、r2分别为两圆的半径)；
连O2G并延伸交AF的延长线于P点；
作∠AFH=∠α，与⊙O1的另一个交点为H点；
连AH，以O1点为心作⊙O1M切于AH线于M点；
过P点作⊙O1M的切线PBC，与⊙O1交于B、C两点；
分别连BA、CA并延长交⊙O2于E、D两点，连DE，完成。

chenjun_nj

证明后几天补充。

chenjun_nj

证明：
作图中的红色垂线FQ、AS；
由作法可知
FQ/AS=PF/PA=GF/O2A=(r1*r1/r2)/r2=(r1/r2)^2;
又由BC=HA，∴∠BAC=∠HFA=∠α(圆中等弦对等圆周角)，即所作CD和BE夹角满足题意；
在△FBC和△AED中，∠BFC=∠BAC=∠α=∠EAD
又∵PA是⊙O2在A点的切线，∴∠BCF=∠BAF=∠EDA
∴△FBC∽△AED，他们的边长比为外接圆半径之比，
面积比为半径比的平方，即(FBC)/(AED)=(r1/r2)^2
∴(ABC)=BC*AS/2=BC*FQ*(r2/r1)^2/2=BC*FQ/2*(r2/r1)^2=(FBC)*(r2/r1)^2
=(AED)*(r1/r2)^2*(r2/r1)^2=(AED)
证毕

天涯念

强人,学习一下

qjchen

谢谢chen_jun兄给出的方法和证明。

我看到的做法有些类似，但可能更繁复些。

lzy1979

这个不会谢谢楼主了