几何作图题101- 过几已知点作椭圆（2道）

qjchen

此题目来源当然是来自husteagle兄提出的好题目

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=76769

研究了一点椭圆弧后，有此两题，希望能在AutoCAD 非2010版中完成。（因为对其他几何软件，不少内置了过5点做椭圆的工具，那此题就容易的多了）

第二题明显就是husteagle提问中的一个方面，而第一题是在查文献中看到的。

第一题有一种比较有趣的能用尺规法的几何做法（注：做出椭圆指的是，找到长短轴端点即可，因为有了此步，ACAD即可做椭圆）

第二题通过计算是肯定可以完成的，但是否如第一题一样存在着不难的几何做法呢，有待研究。

 

chenjun_nj

按仿射几何原理，第2题可以按下图转化为第1题。

qjchen

:)

谢谢chenjun兄，果然是好方法。非常感谢。

那接下来就是第一问的解答了:P

chenjun_nj

作法：
以O为⊙心、OC为半径作⊙；
作HJ⊥CD，与⊙O交于J点；
连EJ、作EJ的垂直平分线KL，与CD或CD的延长线交于L点；
连EL，作OM∥EL，与⊙O交于M点；
作∠MOC的角平分线ON，即为所求椭圆的一个主轴；
作OP⊥ON，OP为所求椭圆的另一个主轴；
延长CE与OP交于Q点，作QR∥EJ，与HJ或HJ的延长线交于R点；
连OR与⊙O交于S点，作ST∥EJ，与OP交于T点，T点即为椭圆主轴上的点；
同理，作出椭圆另一个主轴上的U点，完成。
证明后补。

qjchen

:)

谢谢chenjun_nj兄的漂亮做法，我只大概看懂了一半的道理，能请chenjun_nj兄解释一下么，谢谢。

这里是我当时查文献看到的题目1的解法，在此基础上，利用chenjun兄的2楼做法，也可完成。

根据椭圆共轭直径绘制椭圆曲线的算法

 

chenjun_nj

qjchen兄转的文献的计算方法很好，谢谢！
解析几何中，椭圆的长短半轴分别为a和b，如果有一对共轭半径分别为c和d，且c和d的夹角为α，那么有下面两个等式关系：
a*a+b*b=c*c+d*d
a*b=c*d*sinα
由上两式可以直接求出a和b。

chenjun_nj

我的作法是纯几何法
按仿射几何原理，下图中黄色相似三角形的顶点必定在椭圆上。

下图中，为了作出椭圆上与OC等长的另一半径，∵两个黄色△位似、且△MWV的外心就是⊙心O，而另一个黄色△的外心为L点，
∴MO∥EL，那么过O作OM∥LE，OM就是椭圆上与OC等长的另一个半径，那么∠COM的角平分线必定是椭圆的一个主轴。

而下图中在主轴上找到端点T的方法，就是找到与△EJH相似的黄色△、使其顶点在线OP上，作法是两次位似变换，
△EJH∽△QRH、△QRH∽△TS?

qjchen

chenjun_nj兄的解答真是漂亮，对椭圆的性质和仿射都理解的很深刻啊

仔细看了一遍，现在总算懂了

我也得来多学习一下，有空来把5楼那篇文章的做法抄袭一下

zst1978

我想加你QQ啊