[原创]求作内接等边三角形

watt5151

已知△ABC及其内一定点P                 
请问如何过p点作出△ABC的内接等边三角形

watt5151

未见雷同之题帖，故暂时自称[原创]

qjchen

个人感觉此题应无尺规解

只好用几何画板用圆锥曲线解了。

 

 

watt5151

qjchen发表于2008-9-24 11:43:00个人感觉此题应无尺规解只好用几何画板用圆锥曲线解了。 

尺规可以作出此题与下面的【题外题】，

作法比较简单。

【题外题】

已知△ABC                 
请问如何作出△ABC的最小的内接等边三角形

hejoseph

作△ABC的等力点F，连BF，作一过点P、F的圆使其所含圆周角是∠ABF，与BC边相交于点T，直线TP与∠B相交的另一点U，则TU就是所求正三角形的一边，一般有两解，相切时只有一解，相离时无解。

watt5151

hejoseph发表于2008-9-24 14:17:00作△ABC的等力点F，连BF，作一过点P、F的圆使其所含圆周角是∠ABF，与BC边相交于点T，直线TP与∠B相交的另一点U，则TU就是所求正三角形的一边，一般有两解，相切时只有一解，相离时无解。43497

楼上hejoseph的作法相当高超，要证明不容易。

我帮您简述下等力点F：

作△ABC的费马点f
作费马点f关于角平分线的对称点F，

F就是hejoseph说的等力点 

watt5151

 一楼的题还有其它作法，有兴趣请思考. .

qjchen

看来我太过鲁莽了，所以今晚还是仔细再做了一遍，用

类似

http://www.mjtd.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=37&replyid=44155&id=57307&page=1&skin=0&Star=2

此题18楼的逆作法（与内接正方形的做法类似）

发现了另外一个轨迹，由于是圆，故可解

本题方法：
1. 逆作法.从等边三角形逆构造原三角形
2. 构造原则，第一个是要让角B和角C与圆三角形相等，故构造与原二角相等的圆弧
                      第二个，是要让点P落在等边三角形的边上
3. 经过研究，过D点的弦BC做出的相似于三角形PBC的顶点P的轨迹是一个圆
4. 根据圆与DE的交点情况，有可能是一解，二解或者无解

BTW,watt5151小姐在

http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=55116&hl=

提到的种种做法，确实是挺厉害的，学习一招

watt5151

5楼hejoseph说的等力点F就是满足 “BC·AF=CA·BF=AB·CF”的点。

帖子“ 代欧元同学问个问题, 等积点”说了点F的2个作法，

其中的作法一对5楼hejoseph作法的证明可能有用。

watt5151

8楼qjchen的作法与楼主相似，不妨交流下：

作法：
①作任意等边△xyz
②过yz向外作园周角等于∠A的园弧(蓝园)，

  并取园周角等于α 的弧ZO
③同上，过xz向外作园周角等于∠B的园弧(绿园)，  并取园周角等于β的弧ZK 
④作∠OP`K=α+β
⑤延长KP`交绿园于B`
  延长B`z交蓝园于A`
  A`y与B`x的延长线交于C`
至此，△A`B`C`(含P`)与△ABC(含P)是相似的,
拉放△A`B`C`(含等边△xyz )就OK啦