[原创]诱人的垂心③

watt5151

已知H是圆内一定点
请问如何作出以H为垂心的圆内接△ABC
使得BC边上高的垂足与BC中点的距离最大

chenjun_nj

作法：连OH，作AF⊥OH，取HD=HF/2，作BC⊥AF。
证明：BC上的中点E、高的垂足D，∵OE⊥BC、AD⊥BC，∴AD∥OE，DE的最大距离就是2条平行线的最大距离，∴要使OH⊥AD，达到最大距离为OH。
∵△垂心对任一边的对称点必在外接圆上（看图中3个相等的∠1），∴使HD=HF/2就找到垂足。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-7 21:48:00作法：连OH，作AF⊥OH，取HD=HF/2，作BC⊥AF。证明：BC上的中点E、高的垂足D，∵OE⊥BC、AD⊥BC，∴AD∥OE，DE的最大距离就是2条平行线的最大距离，∴要使OH⊥AD，达到最大距离为OH。∵△垂心对

OK，chenjun_nj的作法，明白+学习了。

 

①作红线垂直于OH
②取HK=AK/3 ; 作蓝线垂直于红线
则△ABC为所求。

证明‘BC边上高的垂足与BC中点的距离最大’，与楼上的方法相似；

证明H△ABC的垂心的方法，与“[原创]诱人的垂心①”的10楼相同。

watt5151

假如有‘喜欢全面讨论问题’的朋友问:

BC边上高的垂足在BC外！

如何是答？

chenjun_nj

作法:过H作圆O的切线HA，A即为△的一个顶点，找出AH的中点D即为高在BC上的垂足；过D点作DC⊥AH，交圆于B、C两点。
可以证明垂足在BC的边外，垂心H必在内接圆外，最大的DE距离就是△外接圆的半径。
详细的证明看图就明白了。