[原创]内心难题(上集)

watt5151

请问如何作出下面的△ABC：
它的内心到顶点A的距离等于已知定值m
它的内心到顶点B的距离等于已知定值n
它的内心到外心、垂心的距离相等。

watt5151

本题由下面的“难作之图”黑名单中的第22题改编：

watt5151

又是三步作图题！！！

不过，为了表明您的作法不是‘白撞’，最好说说证明要点。

qjchen

:)

个人感觉此题确实是一道比较难的题目，经过复杂的计算之后，得到了6个解，舍去其中的三个，得到如下的三个解，其中内切圆半径=m/2和n/2的，说不定有不难的几何证明。但是复杂的那个，就比较麻烦了。

Maple的结果只取了最后的一小部分。本题的求解方法来自于，用m,n,r 表达式求出三边的长度a,b,c

再根据，$内外心距=Sqrt(R*(R-2*r))，内心垂心距=Sqrt(2*r*r+4*R*R-(a*a+b*b+c*c)/2)

公式的来源是此页：

http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html

此两心距相等的做法来列方程式的，手算非常复杂。

 

 

watt5151

qjchen发表于2008-10-30 13:26:00 44167

哗，这么复杂，有没有简单的作法？

hejoseph

qjchen的结果可以化简的，例如2sqrt(3m^2-3mn+3n^2)mn/(4m^2-4mn+4n^2)可变为sqrt(3)mn/(2sqrt(m^2-mn+n^2))，而sqrt(m^2-mn+n^2)很好作图，就是长度为m、n所夹角为60°的三角形中60°的对边的长度。

sqrt(m^2-mn+n^2)的作图也很容易的，就是长度为m、n所夹角为120°的三角形中120°的对边的长度。

watt5151

此上集应该比‘ [原创]内心难题(下集) ’容易！

明早去香港散步几天，

回来再看看各位阁下的精彩作法啦。

watt5151

watt5151发表于2008-11-2 19:05:00此上集应该比‘ 内心难题(下集) ’容易！ 明早去香港散步几天，回来再看看各位阁下的精彩作法啦。

看不见各位阁下的精彩作法，
 

看来还需楼主‘私了’了：
 

作图：
①作△AIB
使得∠AIB=120°
IA=m  IB=n
②作∠IAC=∠IAB    ∠IBC=∠IBA
则△ABC为所求。

证明要点：
∵120°=∠AIB=180°-(∠A/2+∠B/2)=180°-(90°-∠C/2)
∴∠C=60°
∴C点到外心、垂心的距离相等
∴内心到外心、垂心的距离相等
 

 

hejoseph

请问上面的作图法能作出qjchen所计算出来的三种解吗？

∠AIB=120°，这样的作图法只能作出qjchen所计算的结果中r2的那个，还有两个解没有给出作图法。