[求作]正方形外一点

watt5151

qjchen

小算了一下(不好意思，算错了，下图是pc^2+pd^2为最大值时候的解，不是Pc+Pd最大值的解）

 

yimin0519

楼主有何纯几何作法—妙解？（用仿射挺麻烦的）我也计算了一下：

 咦，和Qjchen先生的结果有出入，椭圆长轴为3sqrt(2)/8、短轴为sqrt(2)/8呀，找找原因看~~~

 原来此式没错，进一步化简得到：

 以此等参数暴力解答如下：


以椭圆长、短轴为半径作圆（参数方程），可知一角度：

watt5151

yimin0519发表于2008-12-12 22:10:00楼主有何纯几何作法—妙解？（用仿射挺麻烦的）我也计算了一下：45196 咦，和Qjchen先生的结果有出入，椭圆长轴为3sqrt(2)/8、短轴为sqrt(2)/8呀，找找原因看~~~

楼主有好多题目是从QQ论坛(BBS.QQ.COM ，最近关闭)精选过来的；
不必担心无几何作法或者作法不简单。
本题只需画三线(含园线)，三步搞定。

hejoseph

一射线$AB$为$x$轴正向，$AB$的中点为原点建立坐标系，以$A$、$B$为焦点，长半轴长为$(3sqrt(2))/8$时的椭圆为$E_1$，则这个椭圆方程为
$x^2/(9/32)+y^2/(1/32)=1$。
设以点$C$、$D$为焦点的椭圆长半轴长为$a$为$E_2$，则这个椭圆方程为
$x^2/a^2+(y+1)^2/(a^2-1/4)=1$。
当椭圆$E_1$与椭圆$E_2$内切时$a$最大。设切点为$(x_0,y_0)$，则椭圆$E_1$与椭圆$E_2$的切线方程分别为
$(x_0x)/(9/32)+(y_0y)/(1/32)=1$，
$(x_0x)/a^2+((y_0+1)(y+1))/(a^2-1/4)=1$，
即
$y=-x_0/(9y_0)*x+1/(32y_0)$，
$y=((1-4a^2)x_0)/(4a^2(1+y_0))*x+((4a^2-5-4y_0)a^2)/(4a^2(1+y_0))$，
于是得到
$-x_0/(9y_0)=((1-4a^2)x_0)/(4a^2(1+y_0))$……①，
$1/(32y_0)=((4a^2-5-4y_0)a^2)/(4a^2(1+y_0))$……②。
由①得$x_0=0$或$y_0=(4a^2)/(32a^2-9)$。
当$x_0=0$时$a=sqrt(82+16sqrt(2))/8$。
当$y_0=(4a^2)/(32a^2-9)$时，代入②，得到$(32a^2+48a+9)(32a^2-48a+9)=0$，解这个方程，得$a=(6+3sqrt(2))/8$（另一根舍掉），而$(6+3sqrt(2))/8>sqrt(82+16sqrt(2))/8$，于是$PC+PD$的最大值为$(6+3sqrt(2))/4$，此时$y_0=(1+sqrt(2))/16$，接着可以求出$x=+-(3sqrt(5-2sqrt(2)))/16$。

watt5151

唉，都是计算能手，

谁有几何作法？将复杂的计算过程隐藏在线与园的运算中！

yimin0519

watt5151发表于2008-12-14 18:08:00唉，都是计算能手，谁有几何作法？将复杂的计算过程隐藏在线与园的运算中！

还得先说下，楼主摘录或改编的题都很精妙，让人一经，不长白发添惠根，呵呵，论坛之幸事啊，常此以往好了。。

是啊，有时问题一经点破，结局一定讶然。
就象楼主曾经出过的下面这道怕普斯解决的问题一样，即便你去反推证明都得花不少时间（但结论肯定是正确的），更有甚者，一些经典的问题可是穷著名大家若干年光阴乃至毕生精力才得解（但最终解决办法可能简单之极！），何况我们这些还得为生计奔波的、非专业的蝇头小辈，笨脑袋哪有那么多时间去考究啊，一时兴趣就不错了，呵呵……………

chenjun_nj

yimin0519兄：
你上面所说的方法，我的理解是根据结果去找简便做法，我想是技巧不是技术。

yimin0519

是啊，说穿了，还是基本功不够哦。

qjchen

唉，我做错了，我做成了pc^2+pd^2最大值的。

为此，罚自己一段时间不做题吧。