CAD中的美与乐

highflybird

我是属于爱折腾的那一类人的。
CAD是我这个专业的必备工具。一天到晚都离不开它。
当然，有时候画图累了，就想开开小差。偶然的一次，我在用CAD的夹点拉伸的时候，竟然发现了一个很有意思的现象。
用过CAD的人基本都知道，一段弧有四个夹点 ：弧的两个端点、弧段的中点、弧心。当我们把弧的中间的那个夹点拉到弧心的那个夹点位置后，弧心的那个夹点位置却跑走了，然后我又把弧中间的夹点拉到新的弧心处，当我这样重复下去，我开始以为整个弧会最后定在一个位置，但实际上没有，无论我这样做多少次，弧的位置永远也不会固定。
这个偶然的发现引起了我的注意。我觉得不是一个普通的问题，我感觉它是发散的。QJchen博士用Maple佐证了我的感觉–它的确是发散的！但是，发散的，并不意味这这些夹点的位置是毫无规律的。那么，我就开始折腾了：
首先，我用公式找出它们之间的关系，通过一番简单的数学推理，得到如下图的公式：

这个关系看起来比我想象的要简单多了，跟求开平方的公式仅仅相差一个正负号，如此的简洁而美妙的公式。当然这个公式是对于实数集的，我又展开联想了，如果把这个公式扩展到复数集呢，按照这样的迭代，是怎样的效果呢？
很好，那么稍加推理，对某个位置(Cx ,Cy)的迭代得到如下公式：
Xn+1= (xn-xn/(xn*xn+yn*yn))/2+Cx;
Yn+1= (yn+yn/(xn*xn+yn*yn))/2+Cy;
到此，我想到了曼德布罗特的分形集，说做就做，我利用我编写的一段程序，加入了一点代码，然后在CAD上运行，得到了如下的效果：


结果证明了，它果然具有分形的性质。像啥？有的说是蝴蝶，有的说是猴子的脸，究竟像什么，就凭你的想象了。
我把这个图形叫做高飞鸟集。因为我没在其他人中或者其他地方看到过类似的图片。这也算是我的一个发现吧。

是啊，CAD中竟然蕴藏了这么多的乐趣和美，是我以前从未领略过的。
美是无处不在的，只不过我们还未发觉。
附注：多年前我就想把写下来，直至今日才付诸实现。

2014年8月21日 Highflybird于深圳

香远益清

highflybird大师才是真正的高高手！！！

香远益清

2006版本的确是有4个夹点的

tanjurun

我只能说，你是牛人

highflybird

程序的LISP代码：

1. ;;;*********************************************
   
2. ;;; 迭代公式（用户可以自行修改）               
   
3. ;;; x,xx复数的实数部分，y,yy复数的虚数部分      
   
4. ;;; xx = (x-x/(x*x+y*y))/2+cx                  
   
5. ;;; yy = (y+y/(x*x+y*y))/2+cy                  
   
6. ;;;*********************************************
   
7. (defun fx (x y cx cy)
   
8.   (if (and (zerop x) (zerop y))
   
9.     cx
   
10.     (+ (* 0.5 (- x (/ x (+ (* x x) (* y y))))) cx)
    
11.   )
    
12. )
    
13. (defun fy (x y cx cy)
    
14.   (if (and (zerop x) (zerop y))
    
15.     cy
    
16.     (+ (* 0.5 (+ y (/ y (+ (* x x) (* y y))))) cy)
    
17.   )
    
18. )
    
19. 
    
20. ;;;*********************************************
    
21. ;;; 逃逸判断：                                 
    
22. ;;; 当两个复数相接近的时候停止迭代              
    
23. ;;;*********************************************
    
24. (defun Escape (x xx y yy tol)
    
25.   (< (+ (* (- xx x) (- xx x)) (* (- yy y) (- yy y))) tol)
    
26. )
    
27.             
    
28. ;;;*********************************************
    
29. ;;; Highflybird分形的绘制主函数                 
    
30. ;;; 参数: col0 初始颜色值                       
    
31. ;;;       X1,X2,Y1,Y2,点的取值范围              
    
32. ;;;       W,H  图像的宽和高                     
    
33. ;;;       tol  逃逸半径                        
    
34. ;;;       Itr  迭代最大次数                     
    
35. ;;;       Grad 颜色梯度                        
    
36. ;;;*********************************************
    
37. (defun HFB_fractal (col0 X1 X2 Y1 Y2 W H tol Itr grad /
    
38.         i j dx dy HSL0 cx cy x y n xx yy)
    
39.   (setq HSL0 (apply 'RGB->HSL col0))
    
40.   (setq dx (/ (- X2 X1 0.0) W))
    
41.   (setq dy (/ (- Y2 Y1 0.0) H))
    
42.   (setq i 0)            
    
43.   (repeat W                                     ;图像的宽
    
44.     (setq j 0)
    
45.     (repeat H                                   ;图像的高
    
46.       (setq cx (+ X1 (* i dx)))                 ;实数部分
    
47.       (setq cy (+ Y1 (* j dy)))                 ;虚数部分
    
48.       (setq x cx y cy)                          ;开始迭代位置
    
49.       (setq n 0)                                ;迭代次数置零
    
50.       (while (<= n Itr)                         ;开始迭代
    
51.   (setq xx (fx x y cx cy))                ;得到新的实数部分
    
52.   (setq yy (fy x y cx cy))                ;得到新的虚数部分
    
53.   (if (Escape xx x yy y tol)              ;如果满足逃逸函数
    
54.     (progn                                 
    
55.       (PutColor HSL0 i j n grad)          ;着色这点
    
56.       (setq n Itr)                        ;中断循环
    
57.     )                                          
    
58.     (setq x xx y yy)                      ;否则继续迭代
    
59.   )
    
60.   (setq n (1+ n))
    
61.       )
    
62.       (setq j (1+ j))
    
63.     )
    
64.     (setq i (1+ i))
    
65.   )
    
66. )

;;;*********************************************<br /> ;;; 迭代公式（用户可以自行修改）                <br /> ;;; x,xx复数的实数部分，y,yy复数的虚数部分      <br /> ;;; xx = (x-x/(x*x+y*y))/2+cx                   <br /> ;;; yy = (y+y/(x*x+y*y))/2+cy                   <br /> ;;;*********************************************<br /> (defun fx (x y cx cy)<br />   (if (and (zerop x) (zerop y))<br />     cx<br />     (+ (* 0.5 (- x (/ x (+ (* x x) (* y y))))) cx)<br />   )<br /> )<br /> (defun fy (x y cx cy)<br />   (if (and (zerop x) (zerop y))<br />     cy<br />     (+ (* 0.5 (+ y (/ y (+ (* x x) (* y y))))) cy)<br />   )<br /> ) <br /> <br /> ;;;*********************************************<br /> ;;; 逃逸判断：                                  <br /> ;;; 当两个复数相接近的时候停止迭代              <br /> ;;;*********************************************<br /> (defun Escape (x xx y yy tol)<br />   (< (+ (* (- xx x) (- xx x)) (* (- yy y) (- yy y))) tol)<br /> )<br />             <br /> ;;;*********************************************<br /> ;;; Highflybird分形的绘制主函数                 <br /> ;;; 参数: col0 初始颜色值                       <br /> ;;;       X1,X2,Y1,Y2,点的取值范围              <br /> ;;;       W,H  图像的宽和高                     <br /> ;;;       tol  逃逸半径                         <br /> ;;;       Itr  迭代最大次数                     <br /> ;;;       Grad 颜色梯度                         <br /> ;;;*********************************************<br /> (defun HFB_fractal (col0 X1 X2 Y1 Y2 W H tol Itr grad /<br />         i j dx dy HSL0 cx cy x y n xx yy)<br />   (setq HSL0 (apply 'RGB->HSL col0))<br />   (setq dx (/ (- X2 X1 0.0) W))<br />   (setq dy (/ (- Y2 Y1 0.0) H))<br />   (setq i 0)            <br />   (repeat W                                     ;图像的宽<br />     (setq j 0)<br />     (repeat H                                   ;图像的高<br />       (setq cx (+ X1 (* i dx)))                 ;实数部分<br />       (setq cy (+ Y1 (* j dy)))                 ;虚数部分<br />       (setq x cx y cy)                          ;开始迭代位置<br />       (setq n 0)                                ;迭代次数置零<br />       (while (<= n Itr)                         ;开始迭代<br />   (setq xx (fx x y cx cy))                ;得到新的实数部分<br />   (setq yy (fy x y cx cy))                ;得到新的虚数部分<br />   (if (Escape xx x yy y tol)              ;如果满足逃逸函数<br />     (progn                                 <br />       (PutColor HSL0 i j n grad)          ;着色这点<br />       (setq n Itr)                        ;中断循环<br />     )                                           <br />     (setq x xx y yy)                      ;否则继续迭代<br />   )<br />   (setq n (1+ n))<br />       )<br />       (setq j (1+ j))<br />     )<br />     (setq i (1+ i))<br />   )<br /> )

当然用LISP速度比较慢，最后我用了ARX编程，才满足了所见即所得的效果。
顺便推销一下我的博客地址：http://highflybird.mjtd.com/
欢迎大家有空转转哦！

lucas_3333

高飞鸟神一般的存在！飞在云端看不见啊
太高深，我等这一辈子都不法理解啊

masterlong

老实说没看明白
不是指后面那些涉及数学的内容
虽然那些确实也没去看

不知高飞鸟用的什么版本的CAD
我用的2004
弧的夹点只显示3个
两端点+弧中点
2010也只显示3夹点
嗯
假如还显示弧的圆心的话
那在拖动弧中点的时候
圆心应该是一直在变化的
怎么也没可能
让弧中点与圆心无限接近

前置条件没明白
后面也就没去看了
难道说
4夹点的系统里
拖动弧中点的过程中
圆心的那个夹点是“静止”的
弧中心接近圆心时才发生变化？

highflybird

masterlong 发表于 2014-8-22 11:04
老实说没看明白
不是指后面那些涉及数学的内容
虽然那些确实也没去看

我没用过2004版本，但2006版本的确是有4个夹点的。
你选中的时候，出现4个蓝色的夹点。
在2006版本的时候，拖动中点的那个夹点，弧心的那个夹点位置不变，只有确定后才发生改变。
哈哈，幸好我用的是2006，不然的话，还发现不了这一规律。

smartstar

highflybird 是我们的偶像，真心想佩服！说胡话，前辈发内容我没有一个完全看懂的（其实最多只能看懂一点点），但是我真的很佩服前辈。一个小小的问题，您能会阐述出这么多的理论，佩服前辈这种“钻”的精神，是值得我们后辈学习！向highflybird致敬！！

自贡黄明儒

能看懂LZ的帖子就能成为大师了，尽管只看懂了一点点，也使我在黑暗中少摸索了N多年，真心感谢

fan_zh

前排仰视大神，晚辈向高老师学习！

邹锋

不明白你那图片是怎么弄出来的

lidaxiu

向highflybird大师学习，看来不仅是编程高手，而且是个数学天材，膜拜中，望尘莫及啊