求助此图几何作法

chenmik · 发表于 2020-5-28 11:12

求助大神

highflybird · 发表于 2020-5-31 08:41

本帖最后由 highflybird 于 2020-5-31 09:07 编辑

我在这里提供一个映射做法：

highflybird · 发表于 2020-5-29 00:45

本帖最后由 highflybird 于 2020-5-29 00:51 编辑

楼主提出的问题实际等同圆内两点反射问题。这个问题的解一般来说有六个解，等于分解成一个一元四次方程和一个一元二次方程的解。
一元二次方程的解实际是过AB两点的弦的两端点。
一元四次方程的解对应于圆上一点到AB之距离和或者差的极值，相当于光从A点出发经过圆的反射，到达B点。

所以除了那个一元二次方程的解，其它的解一般来说不可用尺规作图得出。
我这里提供了这种问题的LISP解决方法。

mahuan1279 · 发表于 2020-5-30 00:05

本帖最后由 mahuan1279 于 2020-5-30 07:08 编辑

建立极坐标系，得到一元二次方程，X^2-a*X+b*c=0。判断有无解，有解的情况可以尺规作出来。

mahuan1279 · 发表于 2020-5-29 20:50

qjchen 发表于 2020-5-29 17:36
把楼主的题目改一下，应该有尺规解，不过没有想到简单的方法。
已知角CAB,其内两点D,G,
求：在AB上取点F ...

建立坐标系，结果是求解一元二次方程。采取极坐标系更容易些。

qjchen · 发表于 2020-5-28 22:18

求解了一下，感觉此题应该是个四次方程，应该的无尺规解的。

其中有两个解是穿过ab的直线和圆的交点，另外两个解是在ab线两侧。

qjchen · 发表于 2020-5-29 06:37

谢谢高飞版主指正，昨天推导的时候出现一元六次方程，但是软件给出了一对解加上一个四次方程，没有细想还以为一元四次中包括了那两个。

反射的道理很好，论坛以前可能也有接近题目，不过极值的思路不太清楚，不知道能否解释一下，谢谢！

chenmik · 发表于 2020-5-29 10:38

qjchen 发表于 2020-5-28 22:18
求解了一下，感觉此题应该是个四次方程，应该的无尺规解的。

其中有两个解是穿过ab的直线和圆的交点，另 ...

多谢老师解答。

chenmik · 发表于 2020-5-29 10:38

highflybird 发表于 2020-5-29 00:45
楼主提出的问题实际等同圆内两点反射问题。这个问题的解一般来说有六个解，等于分解成一个一元四次方程和一 ...

感谢版主解答。

chenmik · 发表于 2020-5-29 12:42

原题是A、B为直径上两点，这样就比较简单，作AO：OB的阿氏圆即可。

highflybird · 发表于 2020-5-29 17:31

chenmik 发表于 2020-5-29 12:42
原题是A、B为直径上两点，这样就比较简单，作AO：OB的阿氏圆即可。

嗯，这就是反射问题的特殊情况。

qjchen · 发表于 2020-5-29 17:36

本帖最后由 qjchen 于 2020-5-29 17:39 编辑

把楼主的题目改一下，应该有尺规解，不过没有想到简单的方法。
已知角CAB,其内两点D,G,
求：在AB上取点F。使得FE=FH。此两线分别过D，G点。

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